linalg2020/notes/berechnungen_wk7.md

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SKA 7

SKA 7-1

Vgl. [Skript, Bsp. 5.1.1, (1)].

Behauptung. Seien n\in\mathbb{N} und K ein Körper. Dann bildet K^{n}, versehen mit punktweise Addition und vermöge \alpha\cdot(x_{i})_{i=1}^{n}=(\alpha x_{i})_{i=1}^{n} definierte Skalarmultiplikation einen Vektorraum.,

Beweis.

1. Zz: (K^{n},+) mit punktweise Addition ist eine kommutative Gruppe.

   Ansatz I. (K^{n},+,\mathbf{0}) ist lediglich die Produktgruppe aus n Kopien von (K,+,0_{K}), also sofort eine kommutative Gruppe.

   Ansatz II. Wir gehen die Axiome durch:

   • Zz: (K^{n},+) ist assoziativ:

     ..

   • Zz: (K^{n},+) ist kommutativ:

     Seien \mathbf{u}=(u_{i})_{i=1}^{n},\mathbf{v}=(v_{i})_{i=1}^{n}\in K^{n}. Zu zeigen ist, dass (u_{i})_{i}+(v_{i})_{i}=(v_{i})_{i}+(u_{i})_{i}.

     $$(u_{i}){i}+(v{i}){i} =^{\text{Defn}} (u{i}+v_{i}){i} =^{\ast} (v{i}+u_{i}){i} =^{\text{Defn}} (v{i}){i}+(u{i})_{i}

     
     
     Die Gleichung in ($\ast$) gilt, weil $(K,+)$ kommutativ ist.
     
     

   • Zz: (K^{n},+) hat ein Neutralelement

     ..

   • Zz: (K^{n},+) hat Inverse

     ..

2. Zz: Skalarmultiplikation ist assoziativ.

   • ..

3. Zz: Skalarmultiplikation ist distributiv. Seien \alpha,\beta\in K und \mathbf{u}=(u_{i})_{i}\in K^{n}. Zu zeigen:

   $\begin{array}{rcl} \alpha\cdot(\beta\cdot\mathbf{u}) &= &(\alpha\cdot\beta)\cdot\mathbf{u}\ \end{array}$

   Es gilt

   $\begin{array}{rcl} \alpha\cdot(\beta\cdot\mathbf{u}) &= &\alpha\cdot(\beta\cdot(u_{i}){i})\ &= &\alpha\cdot(\beta\cdot u{i}){i}\ &= &(\alpha\cdot(\beta\cdot u{i})){i}\ &=^{\ast} &((\alpha\cdot\beta)\cdot u{i})){i}\ &= &(\alpha\cdot\beta)\cdot (u{i}))_{i}\ &= &(\alpha\cdot\beta)\cdot \mathbf{u}\ \end{array}$

   Gleichung (\ast) gilt weil (K,\cdot) assoziativ ist.

4. Zz: 1\cdot\mathbf{u}=\mathbf{u} für alle \mathbf{u}\in K^{n}

   • ..

Also ist K^{n} ein Vektorraum. QED

SKA 7-2

Einem jeden Element

$$\left(\begin{matrix} x_{1,1} &x_{1,2} &x_{1,3}\ x_{2,1} &x_{2,2} &x_{2,3} \end{matrix}\right)$$

aus M_{2\times 3}(\mathbb{R}) können wir das Element

$$\left(\begin{matrix} x_{1,1}\ x_{1,2}\ x_{1,3}\ x_{2,1}\ x_{2,2}\ x_{2,3}\ \end{matrix}\right)$$

zuordnen. Dies ist eine bijektive, lineare Abbildung M_{2\times 3}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{6} und (am wichtigsten!) preserviert Addition und Skalarmultiplikation.

SKA 7-3

Vgl. [Skript, Bsp. 5.1.1, (4)].

Ansatz I: Direkt.

Ansatz II: Ist äquivalent (»isomorphisch«) zu \mathbb{R}^{3}. Aber allgemein (für nicht endliche Mengen, X) muss man die Axiome durchgehen.

f\in\mathop{Abb}(\{a,b,c\},\mathbb{R}) \mapsto v_{f}:=\left(\begin{matrix}f(a)\\f(b)\\f(c)\end{matrix}\right)\in\mathbb{R}^{3}

Man muss extra zeigen: v_{f+g}=v_{f}+v_{g} und v_{\alpha\cdot f}=\alpha\cdot v_{f} für alle f,g\in\mathop{Abb}(\{a,b,c\},\mathbb{R}) und \alpha\in\mathbb{R}.

SKA 7-4

Vgl. [Skript, Bsp. 5.1.1, (2)+(4)].

Hinweis: Ein Tuple, a, mit Werten in K und Indizes über \mathbb{N} ist eine Kurzhand für eine Funktion {a:\mathbb{N}\to K}. Das gilt eigentlich für alle (unendlichen) Mengen. (Im endlichen Falle hat man verschiede Alternativen, um Tupeln zu realisieren.)

SKA 7-5

Vgl. [Skript, Bsp. 5.1.1, (5)].

Ansatz I: direkt.

Ansatz II: arbeite mit Basen.

SKA 7-6

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SKA 7-7 + 12

Seien m,n\in\mathbb{N} und A\in M_{m\times n}(K) eine Matrix und b\in K^{m}. Und wir betrachten das LGS Ax = b.

Homogener Lösungsraum: V:=\{x\in K^{n}\mid Ax=\mathbf{0}\}. Zu zeigen: V ist ein Untervektorraum.

• Zz: V\neq\emptyset. Das gilt weil \mathbf{0}\in V, weil A\mathbf{0}=\mathbf{0}.
• Seien u,v\in V und \alpha\in K. Zz: \alpha u+v\in V. Es gilt A(\alpha u+v)=\alpha Au+Av=\alpha\cdot\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}, weil u,v\in V. Also gilt \alpha u+v\in V per Konstruktion.

Lösungsraum: W:=\{x\in K^{n}\mid Ax=b\}. Zu zeigen: W ist ein affiner Unterraum.

• Wenn Ax=b keine Lösung hat, dann gilt W=\emptyset und damit ist W per Definition affin.

• Wenn Ax=b eine Lösung hat... Fixiere eine Lösung x_{0}\in K^{n}. Darum gilt

  $\begin{array}{rcl} W &= &{x\in K^{n}\mid x=u+x_{0},, Au=\mathbf{0}}\ &= &{x\in K^{n}\mid x=u+x_{0},, u\in V}\ &= &x_{0}+V\ \end{array}$

  Also ist W die Summe aus einem Vektor und einem linearen Unterraum (siehe A7-7). Darum ist W affin.

SKA 7-8

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SKA 7-9

Vgl. [Skript, Lemma 5.1.6].

Behauptung. Seien V ein Vektorraum über K und U_{i}\subseteq V Untervektorräume. Dann ist U:=\bigcap_{i\in I}U_{i}\subseteq V wiederum ein Untervektorraum.

Beweis. Wir gehen die Axiome durch:

(NL) Beachte, dass 0\in U_{i} für alle i\in I. Darum 0\in\bigcap_{i\in I}U_{i}=U. Insbesondere ist U nicht leer.

(LK) Seien \alpha,\beta\in K und u,v\in U. Zz: \alpha u+\beta v\in U.

Sei i\in I. Dann u,v\in U_{i}. Da U_{i} ein UVR ist, gilt \alpha u+\beta v\in U_{i}.

Da das für alle i\in I gilt, gilt \alpha u+\beta v\in \bigcap_{i\in I}U_{i}=U.

Darum ist U ein UVR. QED

SKA 7-10

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SKA 7-11

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SKA 7-13

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SKA 7-14

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SKA 7-15

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SKA 7-16

1 5 3 0
2 4 0 0
2 4 0 0

1 # # | 0
0 0 1 | 0
0 0 0 | 0

==> alle Lösungen sind der Form (0, 0, t), wobei t frei

==> linear abhängig