Ein Repository für den Kurs Lineare Algebra 1, WiSe 2020–21.
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linalg2020/notes/berechnungen_wk13.md

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Woche 13

Bestimmung von invertierbaren Elementen und ihren Inversen

Wir benutzen das Ergebnis

k invertierbar in ℤ/n
⟺ ggT(k, n) = 1
⟺ k, n teilerfremd

Beispiel 1.

In ℤ/10:

k               | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
k invertierbar? | x √ x √ x x x √ x √

invertierbare Elemente: {1, 3, 7, 9}.

Beispiel 2.

In ℤ/p sind alle Elemente außer 0 invertierbar. Wir berechnen die Inversen durch Ausprobieren und wir beachten

  • 0 hat kein Inverses
  • 1 invertiert sich selbst
  • für jedes x ≠ 0
    • x invertiert sich selbst, oder
    • ∃y ≠ x, so dass x, y einander invertieren.

ℤ/2

k   | 0 1
k¯¹ | - 1

ℤ/3

k   | 0 1 2
k¯¹ | - 1 2

ℤ/5

k   | 0 1 2 3 4
k¯¹ | - 1 3 2 4

ℤ/7

k   | 0 1 2 3 4 5 6
k¯¹ | - 1 4 5 2 3 6

Den Vorgang des Ausprobieren können wir für ℤ/n verwenden, auch wenn n keine Primzahl ist. Es gibt nur 3 statt 2 Möglichkeiten:

  • x nicht invertierbar
  • x invertiert sich selbst
  • x invertiert durch ein y (und y invertiert durch x).

ℤ/4

k   | 0 1 2 3
k¯¹ | - 1 - 3

ℤ/6

k   | 0 1 2 3 4 5
k¯¹ | - 1 - - - 5