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## §1. Linear oder nicht? ##
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In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert.
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Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist.
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a)
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁·x₃ )
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( 10·x₂ )
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten.
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Aber:
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φ(2, 0, 2) = (16, 0)ᵀ
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2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(2, 0, 2)
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Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
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b)
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃² )
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( 0 )
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten.
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Aber:
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φ(0, 0, 8) = (64, 0)ᵀ
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8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8)
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Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
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c)
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃ )
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( 0 )
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--> linear
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d)
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 0 )
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( 0 )
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--> linear
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e)
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 )
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( 0 )
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
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Aber φ ist hier niemals der Nullvektor!
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Also ist φ nicht linear.
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f)
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 10·x₃ )
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( -x₂ + x₁ )
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linear!
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g)
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 1 - 10·x₃ )
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( -x₂ + x₁ )
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
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Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ.
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Also ist φ nicht linear.
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h)
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( exp(-(7·x₂ + 8·x₁)) )
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( 0 )
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
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Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ.
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Also ist φ nicht linear.
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## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ##
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Seien A = (u₁, u₂, u₃) und B = (v₁, v₂),
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wobei
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u₁ = (3, 0, 1)ᵀ
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u₂ = (0, -1, 0)ᵀ
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u₃ = (4, 0, 0)ᵀ
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v₁ = (4, 5)ᵀ
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v₂ = (0, 1)ᵀ
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Beachte:
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- A bildet eine Basis für ℝ³
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- B bildet eine Basis für ℝ²
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Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁ - x₃ )
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( 10·x₂ + x₁ )
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### Zur Linearität ###
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Seien
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(x₁,x₂,x₃), (x₁',x₂',x₃') ∈ ℝ³
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c, c' ∈ ℝ
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**Zu zeigen:**
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φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = c·φ(x₁, x₂, x₃) +c'·φ(x₁', x₂', x₃')
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Es gilt
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l. S. = φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃'))
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= φ(c(x₁·e1 + x₂·e2 + x₃·e3) +c'(x₁'·e1 + x₂'·e2 + x₃'·e3))
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= φ((c·x₁ + c'·x₁)·e1 + (c·x₂ + c'·x₂)·e2 + (c·x₃ + c'·x₃)·e3)
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= φ(c·x₁ + c'·x₁', c·x₂ + c'·x₂', c·x₃ + c'·x₃')
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= ( 4·(c·x₁ + c'·x₁') - (c·x₃ + c'·x₃') )
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( 10·(c·x₂ + c'·x₂') + (c·x₁ + c'·x₁') )
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= ( c·(4·x₁ - x₃) + c'·(4·x₁' - x₃') )
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( c·(10·x₂ + x₁) + c'·(10·x₂' + x₁') )
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= c·( 4·x₁ - x₃ ) + c'·( 4·x₁' - x₃' )
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( 10·x₂ + x₁ ) ( 10·x₂' + x₁' )
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= r. S.
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Darum ist φ linear.
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### Darstellung ###
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Zunächst beobachten wir:
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 0 -1 ) ( x₁ )
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( 1 10 0 ) ( x₂ )
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( x₃ )
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= C·x
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= φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2],
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wobei C die Matrix
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C = ( 4 0 -1 )
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( 1 10 0 )
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ist.
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**Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen:
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Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear.
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_Zurück zur Berechnung der Darstellung..._
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Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt:
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- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A
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- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ²
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- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i
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Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt:
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B·M·α = φ(A·α)
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für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu
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B·M·α = C·A·α
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Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A.
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Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren
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auf folgendes augmentiertes System an
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( B | C·A )
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und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix.
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Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein.
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Es gilt
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C·A = ( 4 0 -1 ) (3 0 4)
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( 1 10 0 ) (0 -1 0)
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(1 0 0)
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= ( 11 0 16 )
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( 3 -10 4 )
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Also ist das augmentiere System
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( B | C·A )
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= ( 4 0 | 11 0 16 )
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( 5 1 | 3 -10 4 )
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Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1
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~> ( 4 0 | 11 0 16 )
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( 0 4 | -43 -40 -64 )
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Zeile1 <- Zeile1 : 4
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Zeile2 <- Zeile2 : 4
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~> ( 1 0 | 11/4 0 4 )
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( 0 1 | -43/4 -10 -16 )
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Darum gilt
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M_A^B(φ) = ( 11/4 0 4 )
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( -43/4 -10 -16 )
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## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ##
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Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵.
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Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³.
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Definiert werden
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φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃
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**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
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**Antwort:** Ja.
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**Beweis:**
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Da eine (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅) Basis für ℝ⁵ ist,
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können wir [Skript, Satz 6.1.13] anwenden.
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Setze
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φ(u₃) := 0 (Nullvektor)
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φ(u₅) := 0 (Nullvektor)
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Mit der partiellen Definition von φ auf der Basis (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅),
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existiert laut [Skript, Satz 6.1.13] eine **lineare Ausdehnung**
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(auch _Fortsetzung_ od. _Erweiterung_ in der Literatur genannt)
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φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, so dass
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φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃, φ(u₃) = 0, φ(u₅) = 0.
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**QED**
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**Bemerkung 1.**
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Konkret, da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist,
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existiert für jedes x ∈ ℝ⁵ eindeutige Werte
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c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ im Körper ℝ,
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so dass
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x = ∑ c_i · ui
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gilt, und man setzt
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φ(x) := ∑ c_i · φ(u_i).
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Mit dieser Definition ist es einfach, die Axiome durchzugehen,
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und zu beweisen, dass dies eine lineare Abbildung definiert.
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**Bemerkung 2.**
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Beachte, dass die _Wahl_ von den φ(u₃), φ(u₅) im o. s. Beispiel beliebig sein kann. Es ist nur entscheidend, dass in der partiellen
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Definition wir es mit linear unabhängigen Elementen zu tun haben.
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Falls es zu Abhängigkeiten zwischen den Inputvektoren kommt,
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müssen wir wie gewohnt auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge
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reduzieren, und zeigen, dass für die restlichen Inputs,
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die Definition kompatibel ist.
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Als Beispiel nehmen wir
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u₁ = (1, 0, 1, 0, 0)ᵀ
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u₂ = (1, 2, 1, 0, 0)ᵀ
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u₃ = (0, 1, 0, 0, 0)ᵀ
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und φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ partiell definiert auf {u₁, u₂, u₃}.
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Aus (u₁, u₂, u₃) können wir sehen (etwa durch den Gaußalgorithmus),
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dass (u₁, u₂) ein maximales linear unabhängiges Teilsystem ist
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und
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u₃ = -½u₁ + ½u₂.
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Darum können φ(u₁), φ(u₂) beliebig gewählt werden,
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umd es muss
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φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂)
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gelten (entsprechend dem o. s. Verhältnis).
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Wenn wir zum Beispiel
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φ(u₁) = ( 4, 2)ᵀ
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φ(u₂) = (-2, 8)ᵀ
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φ(u₃) = (-3, 3)ᵀ
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wählen ist, dies erfüllt.
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Man kann das l. u. Teilsystem (u₁, u₂)
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durch 3 weitere Vektoren zu einer Basis ergänzen
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und φ zu einer linearen Abb ausdehnen.
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Wenn wir aber
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φ(u₁) = ( 8, 1)ᵀ
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φ(u₂) = (-4, 8)ᵀ
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φ(u₃) = ( 0, 1)ᵀ
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wählen ist, ist φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) nicht erfüllt.
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Darum lässt sich hier φ **nicht** zu einer linearen Abbildung erweitern.
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