raj_mathe
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logik2021
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logik2021/protocol/woche4.md

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Vorlesungswoche 4 (3. April – 9. Mai)

Handnotizen findet man unter notes/woche4.pdf.

Agenda

  • Organisatorisches (max. 5 min)
    • Hochladen = Abgeben
    • Zoom
      • Zugriff
      • Ort der Zoomaufzeichnungen
      • BBB-Aufzeichnung?
  • Spezielles Thema: (strukturelle) Rekursion
    • top-down
      • »kleinste Menge«
      • Wohldefiniertheit: einfach!
    • bottom-up
      • wohlfundierte Relationen
      • Wohldefiniertheit: (mühseliger!)
    • Satz: bottom-up = top-down
      • ⊇: weil bottom-up Eigenschaft hat und top-down kleinstmögliche Menge mit Eigenschaft ist.
      • ⊆: (schwerer) zeige, dass alles in Klasse alle n-ten Stufen enthält, damit gilt Schnitt aus Klasse (=:top-down) enthält Vereinigung (=:bottom-up)
    • Präsentation (Schemata)
      • für Mengen
        • als Liste
        • durch "... | ... | ..." Schreibweise
      • für Funktionen
        • definiere ƒ für Basisfälle.
        • definiere ƒ für Zusammensetzung durch Werte von ƒ auf Teilen.
    • Beispiele:
      • ℕ als „kleinste Menge“, die 0 enthält und unter +1 abgeschlossen ist.
      • eval(·, I)
      • Atome(·) -> kommt nächste Woche!
      • Länge -> kommt nächste Woche!
    • Induktion
      • Aus Sicht von bottom-up (-> verallgemeinert Induktion über ℕ)
      • wieso funktioniert es? (Beweis durch Widerspruch -> betrachte min{x | ¬ ф(x)})
        • „min“ hier bzgl. x ≤ y ⟺ x (strikte) Teilformel von y
        • alternativ bzgl. x ≤ y ⟺ |Zeichen in x| < |Zeichen in y|
      • Beispiele
    • strukturelle Induktion
      • Aus Sicht von top-down (!! neue Sichtweise !!)
      • wieso funktioniert es? (direkter Beweis: {x | ф(x)} ⊇ »kleinste Menge«)
      • Beispiele
  • weitere Fragen nach Aufzeichnungsende.
    • wie verhält sich das mit Russellmenge? -> „gelöst“ durch wohlfundiert/Wohlordnung -> R keine Menge

Nächste Woche

  • Seminaraufgaben für Serie 2:
    • KNF/DNF
    • Hornformeln / Alg
    • str. Induktion / Rekursion
    • Kompaktheit (-> möglich nach der ÜG)

TODOs (Studierende)

  • Folien für Wochen 3--4 durchlesen;
  • ÜB 1 bis {22:00 am Donnerstag 6. Mai 2021} abgeben.