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# Vorlesungswoche 4 (3. Mai – 9. Mai) #
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Handnotizen findet man unter [notes/woche4.pdf](./../notes/woche4.pdf).
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## Agenda ##
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- [x] Organisatorisches (max. 5 min)
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- Hochladen = Abgeben
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- Zoom
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- Zugriff
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- Ort der Zoomaufzeichnungen
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- BBB-Aufzeichnung?
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- Spezielles Thema: (strukturelle) Rekursion
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- top-down
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- »kleinste Menge«
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- Wohldefiniertheit: einfach!
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- bottom-up
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- wohlfundierte Relationen
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- Wohldefiniertheit: (mühseliger!)
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- Satz: bottom-up = top-down
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- ⊇: weil bottom-up Eigenschaft hat und top-down kleinstmögliche Menge mit Eigenschaft ist.
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- ⊆: (schwerer) zeige, dass alles in Klasse alle _n_-ten Stufen enthält, damit gilt Schnitt aus Klasse (=:top-down) enthält Vereinigung (=:bottom-up)
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- Präsentation (Schemata)
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- für Mengen
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- als Liste
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- durch `"... | ... | ..."` Schreibweise
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- für Funktionen
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- definiere ƒ für Basisfälle.
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- definiere ƒ für Zusammensetzung durch Werte von ƒ auf Teilen.
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- Beispiele:
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- [x] ℕ als „kleinste Menge“, die 0 enthält und unter +1 abgeschlossen ist.
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- [x] eval(·, I)
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- [ ] Atome(·) -> kommt nächste Woche!
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- [ ] Länge -> kommt nächste Woche!
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- Induktion
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- Aus Sicht von bottom-up (-> verallgemeinert Induktion über ℕ)
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- wieso funktioniert es? (Beweis durch Widerspruch -> betrachte `min{x | ¬ ф(x)}`)
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- „min“ hier bzgl. x ≤ y ⟺ x (strikte) Teilformel von y
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- alternativ bzgl. x ≤ y ⟺ |Zeichen in x| < |Zeichen in y|
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- Beispiele
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- strukturelle Induktion
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- Aus Sicht von top-down (!! neue Sichtweise !!)
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- wieso funktioniert es? (direkter Beweis: `{x | ф(x)} ⊇ »kleinste Menge«`)
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- Beispiele
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- [x] weitere Fragen nach Aufzeichnungsende.
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- wie verhält sich das mit Russellmenge?
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-> „gelöst“ durch wohlfundiert/Wohlordnung
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-> R keine Menge
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## Nächste Woche ##
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- Seminaraufgaben für Serie 2:
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- KNF/DNF
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- Hornformeln / Alg
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- str. Induktion / Rekursion
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- ~~Kompaktheit~~ (-> möglich nach der ÜG)
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### TODOs (Studierende) ###
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- Folien für Wochen 3--4 durchlesen;
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- ÜB 1 bis {22:00 am Donnerstag 6. Mai 2021} abgeben.
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