master > master: notes - woche14

.gitignore

@@ -15,6 +15,7 @@
 !/notes
 !/notes/glossar.md
 !/notes/quellen.md
+!/notes/woche*.pdf
 
 !/protocol/README.md
 !/protocol/woche*.md

README.md

@@ -10,3 +10,14 @@ In diesem Repository findet man:
 - Notizen [hier](./notes).
 - Symbolverzeichnis unter [notes/glossar.md](./notes/glossar.md).
 - Referenzen unter [notes/quellen.md](./notes/quellen.md).
+
+## Klausur ##
+
+**Bitte entnehmen Sie alle aktuellen Infos von Moodle.**
+
+Zur Info:
+
+- Klausurdatum nach letzter VL-Woche^.
+</br>
+(^ letzte VL-Woche = [31.1.--6.2.2022.] = [Woche 5, 2022])
+- Probeklausur + Aufgabensammlung auf Moodle verfügbar.

protocol/README.md

@@ -5,14 +5,14 @@ Inhaltsverzeichnis
 - [Vorlesungswoche 1](./woche1.md)
 - [Vorlesungswoche 2](./woche2.md)
 - [Vorlesungswoche 3](./woche3.md)
-- [Vorlesungswoche 4](./woche4.md)
+- [Vorlesungswoche 4](./woche4.md) !!! Diese Woche sind wir im **Hörsaal 8** !!!
-- [Vorlesungswoche 5](./woche4.md)
+- [Vorlesungswoche 5](./woche5.md)
-- [Vorlesungswoche 6](./woche4.md)
+- [Vorlesungswoche 6](./woche6.md)
-- [Vorlesungswoche 7](./woche4.md)
+- [Vorlesungswoche 7](./woche7.md)
-- [Vorlesungswoche 8](./woche4.md)
+- [Vorlesungswoche 8](./woche8.md) !!! Diese Woche fällt wegen _Dies academicus_ aus (siehe Moodle) !!!
-- [Vorlesungswoche 9](./woche4.md)
+- [Vorlesungswoche 9](./woche9.md)
-- [Vorlesungswoche 10](./woche10.md)
+- [Vorlesungswoche 10](./woche10.md) <- Onlinemodus
-- [Vorlesungswoche 11](./woche11.md)
+- [Vorlesungswoche 11](./woche11.md) <- Onlinemodus
 - [Vorlesungswoche 12](./woche12.md)
 - [Vorlesungswoche 13](./woche13.md) ???
 - [Vorlesungswoche 14](./woche14.md) ???

protocol/woche1.md

@@ -1,14 +1,39 @@
 # Vorlesungswoche 1 (11.–17. Oktober 2021) #
 
+Diese Woche wird Übungsblatt 0 veröffentlicht.
+
 ## Agenda ##
 
-- [ ]
+- [x] Organisatorisches
-- [ ]
+- [x] Eisbrecher
+- [x] Aufgaben:
+    - [x] Aussagenlogik
+    - [x] Quantifizierte Aussagen
+    - [x] Quantifizierte Aussagen über Relationen
+    - [ ] Relation als Graph einer Funktion
+        ```text
+        Sei ƒ : ℝ ⟶ ]0, ∞[ die Funktion mit Vorschrift ƒ(x) = exp(-x).
+        Sei R = { (x,y) ∈ ℝ ⨉ ]0, ∞[ | ƒ(x)=y }.
+        Bestimmen Sie, welche der folgenden Aussagen gelten:
+
+        i)   ƒ ist wohldefiniert
+        ii)  ∀x∈X: ∃y∈X: R(x,y)
+        iii) für kein x ∈ X existieren y₁, y₂ ∈ X so, dass
+                y₁ ≠ y₂ und R(x,y₁) und R(x,y₂)
+        iv)  ƒ ist injektiv
+        v)   ƒ ist surjektiv
+        vi)  ƒ ist bijektiv
+        ```
+    - [ ] Beweise:
+        ```text
+        Angenommen, R sei eine reflexive Relation über einer Grundmenge, X.
+        Dann gilt ∀x∈X: ∃y∈X: R(x,y).
+        ```
 
 ## Nächste Woche ##
 
--
+- Besprechung vom Blatt 0.
 
 ### TODOs (Studierende) ###
 
--
+- am ÜB 0 weiter arbeiten.

protocol/woche10.md

@@ -1,14 +1,16 @@
 # Vorlesungswoche 10 (13.–19. Dezember 2021) #
 
+Letzte Übung für 2021 vor den Weihnachtsferien.
+
 ## Agenda ##
 
-- [ ]
+- [x] ÜB 7
-- [ ]
+- [x] ÜB 9: Begriffserklärungen + „zum Nachdenken“ Hinweise zu A3, Z2.
 
-## Nächste Woche ##
+## Nächste Wochen ##
 
--
+- Weihnachten! 🌲 ☃️
 
 ### TODOs (Studierende) ###
 
--
+- ÜB 9 bis 04.01. fertig schreiben.

protocol/woche11.md

@@ -1,14 +1,28 @@
 # Vorlesungswoche 11 (3.–9. Januar 2022) #
 
+(online --- siehe Moodle)
+
 ## Agenda ##
 
-- [ ]
+- [x] Orga:
-- [ ]
+    - Abgabe nächste Woche
+    - Infos zur Probeklausur
+        - ✅ Aussagekraft über Schwierigkeitsgrad?
+        - ❌ Aussagekraft über Zeit/schreibaufwand?
+        - 〰️ Aussagekraft über Themenabdeckung?
+        - ❌ Aussagekraft über Gewichtung?
+    - Präsenz/online Modus nächste Woche?
+    - Takt für restliche Wochen: {n-1, n+1} -> {n, n+1}
+- [ ] ~~Fragen zu ÜB7 + ÜB8?~~
+- [x] ÜB9
+- [ ] ~~ÜB10~~
 
 ## Nächste Woche ##
 
--
+- Probeklausurblatt,
+- Modus für nächste Woche wird noch (vom Prof) angekündigt.
 
 ### TODOs (Studierende) ###
 
--
+- weiter an ÜB10 arbeiten und (online!) abgeben.
+- aktuellsten VL-Stoff durchlesen und verinnerlichen.

protocol/woche12.md

@@ -1,14 +1,23 @@
 # Vorlesungswoche 12 (10.–16. Januar 2022) #
 
+(Wieder in Präsenz.)
+
 ## Agenda ##
 
-- [ ]
+- [x] Orga
-- [ ]
+    - übrige Wochen
+    - Anmerkung zu Lösung von ÜB9
+        - A2 (b)+(c) in Notizen
+        - für A4 kommt man auch ohne ZWS aus
+- [x] ÜB10: —/gleichmäßige/Lipschitz-Stetigkeit
+- [x] ÜB11 (A4 wurde aktualisiert)
 
 ## Nächste Woche ##
 
--
+- ÜB11 + 12
 
 ### TODOs (Studierende) ###
 
--
+- ÜB11 fertig schreiben und abgeben.
+- aktuellsten VL-Stoff erlernen, vertiefen, verinnerlichen.
+  Man sollte u. a. fließend die versch. Stetigkeitsbegriffe bedienen können.

protocol/woche13.md

@@ -1,14 +1,20 @@
-# Vorlesungswoche 13 ??? (17.–23. Januar 2021) #
+# Vorlesungswoche 13 ??? (17.–23. Januar 2022) #
+
+(Vertretung)
 
 ## Agenda ##
 
-- [ ]
+- [ ] ÜB11
-- [ ]
+- [ ] ÜB12
 
 ## Nächste Woche ##
 
--
+- ÜB12
+- Vorklausuraufgaben
 
 ### TODOs (Studierende) ###
 
--
+- ÜB12 fertig schreiben und abgeben.
+- Klausurvorbereitung:
+  - Probeklausur / Aufgabensammlung versuchen;
+  - Zusammenfassung der Kapiteln erstellen.

protocol/woche14.md

@@ -1,14 +1,22 @@
-# Vorlesungswoche 14 ??? (24.–30. Januar 2021) #
+# Vorlesungswoche 14 (24.–30. Januar 2022) #
 
 ## Agenda ##
 
-- [ ]
+- [ ] Orga
-- [ ]
+  - Relevante Teile für Klausur?
+  - Noten, Zulassung?
+- [x] ÜB12
+- [x] Fragen zur Klausur
 
 ## Nächste Woche ##
 
--
+- zur Klausurvorbereitung
+- ~~ÜB13~~ <— zugunsten der Klausur nicht.
 
 ### TODOs (Studierende) ###
 
--
+- ggf. ÜB13 abgeben.
+- Für Klausur vorbereiten:
+  - eigene Zusammenfassung aufschreiben.
+  - sicherstellen, dass alle relevanten Teile abgedeckt sind.
+  - Aufgabensammlung/Probeklausur probieren.

protocol/woche15.md

@@ -0,0 +1,14 @@
+# Vorlesungswoche 14 ??? (31. Januar – 7. Februar 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [ ]
+- [ ]
+
+## Nächste Woche ##
+
+-
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+-

protocol/woche2.md

@@ -2,13 +2,32 @@
 
 ## Agenda ##
 
-- [ ]
+- [x] Orga
-- [ ]
+    - [ ] Notenvergabe (4 x 4 pro Blatt)
+    - [x] Korrekturdauer
+    - [x] Vorrechnung - Freiwillige oder nach System?
+- [x] Besprechung von Blatt 0
+    - 1. Vorrechnungen?
+    - 2. Argument
+    - 3. Vorrechnung? Beweis
+        - gdw. Teil
+        - Eindeutigkeit
+- [x] Bisherige Themen aus VL
+    - [ ] Ordnungsrelationen (auch Halbordnung genannt) vs. LO
+    - [ ] »die« Struktur (N,v) mit (N,v) |= PA
+    - [x] vollst. Ind (vs. schwache Induktion)
+    - [ ] Rekursion
+    - [x] Mengenkomplemente
+    - [x] A2(b): wieder eine endliche Menge
 
 ## Nächste Woche ##
 
--
+- Besprechung von ÜB1 inkl. Vorrechnen
+- Stoff aus Kapitel 2
 
 ### TODOs (Studierende) ###
 
--
+- Stoff aus Kapitel 1 erlernen
+- Stoff aus Kapitel 2 durchlesen
+- am ÜB1 weiter arbeiten
+- Vorrechnen vorbereiten

protocol/woche3.md

@@ -2,13 +2,46 @@
 
 ## Agenda ##
 
-- [ ]
+- [x] Orga
-- [ ]
+    - [x] Notenvergabe (4 x 4 pro Blatt)
+    - [x] ÜB0 zurückgeben
+
+<!-- ggf überspringen? -->
+- [x] Besprechung von Blatt 1
+    - [x] 1. Vorrechnen?
+    - [x] 2. Vorrechnen?
+    - [x] 3. Vorrechnen?
+    - [ ] 4. Vorrechnen? --> siehe [notes/woche3.pdf](../notes/woche3.pdf)
+    - [x] Z1. Vorrechnen?
+
+- [x] Übungsblatt 2 diskutieren/Hinweise
+    - [x] A1. Was ist zu zeigen? (Aufstellung der Behauptung.)
+    - [x] A2. Was ist zu zeigen?
+        - a) Induktionsbehauptung als Lemma.
+        - b) (totale?) Ordnungsrelation:
+          - Reflexivität
+          - Transitivität
+          - Antismymetrie
+          - (total?)
+
+        Was davon ist trivial? Was davon geht auf Ergebnisse in VL zurück? Was davon braucht (a)?
+
+    - [x] A3. Was ist zu zeigen?
+      - Welcher Teil ist trivial?
+      - Welcher Teil ist nicht trivial?
+        - Auf was kann man das Problem reduzieren? (Kann man hier Informationen aus anderen Aufgaben einsetzen?)
+        - Welche Mittel kann mein einsetzen, um dies zu zeigen? (Wie stellt man hier eine passende Behauptung auf?)
+
+    - [x] A4. Induktion ab n = 0!
 
 ## Nächste Woche ##
 
--
+- am 4.11. im Hörsaal 8!
+- Besprechung von ÜB2 inkl. Vorrechnen
+- ggf. Stoff aus Kapitel 2 (Körper)
 
 ### TODOs (Studierende) ###
 
--
+- Stoff aus Kapiteln 1–2 verinnerlichen
+- am ÜB2 weiter arbeiten
+- an das Vorrechnen für ÜB2 denken

protocol/woche4.md

@@ -1,14 +1,46 @@
 # Vorlesungswoche 4 (1.–7. November 2021) #
 
+!!! Diese Woche sind wir im **Hörsaal 8** !!!
+
 ## Agenda ##
 
-- [ ]
+- [x] Orga
-- [ ]
+  - [x] ÜB1 zurückgeben (+ restliche ÜB0)
+  - Anmerkung im Moodle:
+
+        Es gilt immer (es sei denn, es wird etwas anderes gesagt),
+        dass alle in Ihren Antworten gemachten Aussagen
+            zu begründen bzw. herzuleiten sind.
+        Aus der VL Bekanntes dürfen Sie mit "Zitat"
+        (also etwa "Nach Vorlesung gilt...") verwenden.
+
+  - [x] Takt bzgl. Besprechung der abgegebenen Blätter
+- [x] Besprechung von Blatt 2
+  - [x] A1, Vorrechnen?
+  - [x] A2, Vorrechnen?
+  - [x] A3, Vorrechnen? ---> nur Skizze
+  - [x] A4, Vorrechnen? ---> nur Induktionsschritt
+- [ ] Besprechung von Blatt 3 ---> nächste Woche?
+  - [ ] A1. alternative Aufgabe (zwecks Stil, nicht Inhalt):
+    - Zeige, dass 0·x = 0 für alle x ∈ K gilt.
+  - [ ] A2. Alternativ mit F_5 (Skizze).
+    - **Definition:** char(K) := min n ∈ ℕ, > 0 mit 1 + 1 + ... + 1 (n-Mal) = 0; sonst 0.
+    - **Satz:** char(K) ∈ ℙ u {0}
+    - **Definition:** Axiome für Körperanordnungen
+            O1: Körper hat Kegelzerlegung
+            O2: Kegel unter Addition und Multiplikation stabil
+    - Beachte: positiv vs. **nicht negativ** !! (Und Abweichungen davon in versch. Gebieten.)
+    - **Lemma:** Wenn char(K) ≠ 0, dann lässt sich K nicht mit Anordnung ausstatten.
+  - [ ] A3. Beziehung zw. (a) und (b)?
+
 
 ## Nächste Woche ##
 
--
+- ÜB3 vorrechnen?
+- bisheriger Stoff
 
 ### TODOs (Studierende) ###
 
--
+- Stoff aus Kapiteln 1–3 verinnerlichen
+- am ÜB3 weiter arbeiten
+- an das Vorrechnen für ÜB2 denken

protocol/woche5.md

@@ -1,14 +1,39 @@
 # Vorlesungswoche 5 (8.–14. November 2021) #
 
+Diese Woche sind wir wieder im **Felix Klein Saal**.
+
+Bitte daran denken, dass Studierende ihre Lösungswege zu ÜB2 präsentieren können.
+</br>
+Wer seine/ihre Aufgabe besonders gut gelöst hat, kann sich gerne dazu melden 🙂
+</br>
+Mein Lösungsweg zu A3 steht in den Handnotizen, und ggf. kann ich dies gerne dazu präsentieren.
+
 ## Agenda ##
 
-- [ ]
+- [x] Orga
-- [ ]
+  - [x] Entscheidung von Studierenden über Takt
+    --> Abstand = 2
+  - [x] Gibt es Musterlösungen oder erwünschte Lösungswege?
+- [x] Übungsblatt 2
+  - [x] A3
+- ~~[ ] Übungsblatt 3~~
+- [x] Hinweise und Fragen zu Übungsblatt 4
+  - [x] Begriffe
+  - [x] äquivalente Definitionen:
+    in (ggf partieller) Ordnungsrelation,
+    in (totaler) Ordnungsrelation,
+    in einem Körper.
+  - [x] Beispiele mit Randfällen (leere Menge und ganze Menge)
+  - [x] Beweis von sup c·M = c·sup M
+    - [x] mit rein ordnungstheoretischem Ansatz
+    - [x] mit ε-Ansatz
 
 ## Nächste Woche ##
 
--
+- Besprechung von ÜB3 + Hinweise und Fragen zu Übungsblatt 5
 
 ### TODOs (Studierende) ###
 
--
+- Stoff aus Kapiteln 1–3 verinnerlichen
+- am ÜB4 weiter arbeiten
+- an das Vorrechnen für ÜB3 denken

protocol/woche6.md

@@ -2,13 +2,25 @@
 
 ## Agenda ##
 
-- [ ]
+- [ ] Lösungen zu Aufgaben in ÜB3 besprochen
-- [ ]
+- [ ] Aspekte von ÜB5 diskutiert
+  - Struktur eines Arguments mit der Basisdefinition von Grenzwert
+
+    ```
+    Sei ε > 0.
+    Setze n(ε) ∈ ℕ mit ...
+    Dann gilt für alle n ≥ n(ε), dass
+        |x_n – x| ≤ ...
+            < ... [ Argument nutzt n≥n(ε) sowie die Forderungen auf n(ε) aus ]
+            < ε
+    ```
 
 ## Nächste Woche ##
 
--
+- ÜB4 Lösungen
+- ÜB6 diskutieren
 
 ### TODOs (Studierende) ###
 
--
+- ÜB5 vor 10:30 (VL) od. 12:00 (Briefkasten) am Dienstag abgeben.
+- Ans Vorrechnen von Aufgaben aus ÜB4 denken.

protocol/woche7.md

@@ -2,13 +2,56 @@
 
 ## Agenda ##
 
-- [ ]
+- [x] Orga
-- [ ]
+  - [x] Abstimmung der Studierenden über Präsenz v. Digital ---> überwiegende Mehrheit für Präsenzbetrieb.
+  - [x] Abgaben ab Woche 8 wieder dienstags (siehe Moodle!).
+- [x] ÜB4 - A1, A2 (b)+(c), A4.
+- [x] ÜB6 - Aspekte von A4 diskutiert (liminf, limsup). Ähnliche Aufgabe besprochen.
 
 ## Nächste Woche ##
 
--
+- ÜB5 vorrechnen.
+- Aspekte von ÜB7 diskutieren.
 
 ### TODOs (Studierende) ###
 
--
+- ÜB6 zu Ende schrieben und vor Frist abgeben.
+- VL-Inhalte bes. Kapiteln 2; 4; 5 durchlesen und Stoff erlernen.
+
+### Zusatz: ###
+
+Um „fließender“ mit sup/inf umzugehen, empfehle ich, folgende Aussagen zu beweisen:
+
+1. Sei `(X, <)` eine dichte^ totale Ordnungsrelation. Dann für alle `a,b ∈ X` mit `a < b` gelten:
+
+  - `sup (-∞, b) = sup (a, b) = sup [a, b) = sup (-∞, b] = sup (a, b] = sup [a, b] = b`;
+  - `inf (a, +∞) = inf (a, b) = inf (a, b] = inf [a, +∞) = inf [a, b) = inf [a, b] = a`.
+
+  (So etwas macht man ein Mal im Leben!!)
+
+2. Sei `(X, <)` eine totale Ordnungsrelation und sei `M ⊆ X`. Dann gelten
+  - `min M` existiert ⟺ `inf M` existiert und `inf M ∈ M`.
+    Wenn das Minimum existiert, dann stimmen Min und Inf überein.
+  - `max M` existiert ⟺ `sup M` existiert und `sup M ∈ M`.
+    Wenn das Maximum existiert, dann stimmen Max und Sup überein.
+
+3. Sei `(X, <)` eine totale Ordnungsrelation und sei `M ⊆ X` dicht in `X`.^^ Dann gelten:
+  - `sup I = sup (I ∩ M)` für alle nicht leere Intervalle `I ⊆ X`
+  - `inf I = inf (I ∩ M)` für alle nicht leere Intervalle `I ⊆ X`
+
+4. Sei `(X, <)` eine totale Ordnungsrelation und sei `M ⊆ X` dicht in `X`. Seien `A ⊆ M` und `m ∈ M`. Dann gelten:
+  - `A` hat Supremum `m` berechnet innerhalb `(M, <)` ⟺ `A` hat Supremum `m` berechnet innerhalb `(X, <)`.
+  - `A` hat Infimum `m` berechnet innerhalb `(M, <)` ⟺ `A` hat Infimum `m` berechnet innerhalb `(X, <)`.
+
+5. Finde ein Gegenbeispiel zu den Aussagen in 4, wenn die Dichtheitsannahme wegfällt.
+
+
+^ Dass eine Ordnungsrelation, `(X, <)` **dicht** ist, bedeutet:
+```
+∀x,y ∈ X: (x < y ⟹ ∃z ∈ X: x < z < y).
+```
+
+^^ Dass eine Teilmenge, `M ⊆ X`, **dicht in** `(X, <)` ist, bedeutet:
+```
+∀x,y ∈ X: (x < y ⟹ ∃z ∈ M: x < z < y).
+```

protocol/woche8.md

@@ -1,14 +1,20 @@
-# Vorlesungswoche 8 (29. November – 5. Dezember 2021) #
+# Vorlesungswoche 8 (29. November – 5. Dezember 2021) --> 7.12. #
 
-## Agenda ##
+**ACHTUNG:** Diese Woche fällt am Do die Übung aus.
+Stattdessen wird ein Ersatztermin am 7.12. organisiert.
 
-- [ ]
+## Ablauf ##
-- [ ]
 
-## Nächste Woche ##
+- [x] ÜB5 vorrechnen - A1, A3, A4.
+- [x] ÜB7 besprechen - A2 a), A3, A4 b).
+- Weitere Fragen: ÜB6 A3.
 
--
+## ~~Nächste Woche~~ (--> diesen Donnerstag) ##
+
+- ÜB6 vorrechnen.
+- Aspekte von ÜB8 diskutieren.
 
 ### TODOs (Studierende) ###
 
--
+- ~~ÜB7 zu Ende schrieben und vor Frist (heute, 7.12.) abgeben.~~
+- VL-Inhalte bes. Kapiteln 5 + 6 durchlesen und Stoff erlernen.

protocol/woche9.md

@@ -2,13 +2,8 @@
 
 ## Agenda ##
 
-- [ ]
+- [x] ÜB 6: alle bis auf Z1 besprochen
-- [ ]
 
 ## Nächste Woche ##
 
--
+- ÜB 7 + 9
-
-### TODOs (Studierende) ###
-
--