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notes/vorbereitungKL2_2.md

@@ -1,51 +1,74 @@
+## Lineare Ausdehnung ##
 
+Aufgabe 5b aus Klausur
 
-    v1=... w1=...
+    i)
-    v2=... w2=... wie in Aufgabe
-    v3 = (1 0 0)
-        [oder sagen: „es gibt“ ein v3, so dass {v1,v2,v3} eine Basis von R^3 ist]
-    wähle w3 in R^3 beliebig
-        ---> ex. lin Abb φ : R^3 ---> R^3 (siehe Satz 6.1.13)
 
-5b)
+        v1=... w1=...
-    ii) wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh.
+        v2=... w2=... wie in Aufgabe
-            ---> also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist.
-            ---> lin Abb φ wie vorher erzeugen.
-            Zz: φ ist injektiv. (Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus)
-            Sei x ∈ Kern(φ).
-                Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3
-                Also 0 = φ(x) = c1·w1 + c2·w2 + c3·w3
-                Also c1, c2, c3 = 0, weil {w1, w2, w3} eine Basis
-                Also x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 = 0.
-            ===> Damit haben wir gezeigt, dass Kern(φ) = {0}
-                (beachte, dass 0 immer im Kern ist)
-            ===> φ injektiv.
 
-            ODER
+        Wähle v3 = (1 0 0)
+        Oder sage: „es gibt“ ein v3, so dass {v1,v2,v3} eine Basis von R^3 ist
 
-            Aus Korollar 6.1.15 folgt φ ein Iso, weil {w1, w2, w3} eine Basis ist.
+        Wähle w3 in R^3 beliebig
+        ⟹ ex. lin Abb φ : R^3 ⟶ R^3 (siehe Satz 6.1.13)
+        mit
+            φ(v1) = w1
+            φ(v2) = w2
+            φ(v3) = w3
+
+    ii) Wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh.
+        - also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist.
+        - lin Abb φ : R^3 ⟶ R^3 wie vorher erzeugen.
+        - bleibt zu zeigen, dass φ ein Isomorphismus ist.
+
+        Zz: φ ist injektiv.
+            [Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus.]
+        Sei also x ∈ Kern(φ).
+            Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3
+            Also 0 = φ(x) = c1·w1 + c2·w2 + c3·w3
+            Also c1, c2, c3 = 0, weil {w1, w2, w3} eine Basis
+            Also x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 = 0.
+        ⟹ Damit haben wir gezeigt, dass Kern(φ) = {0}
+            (beachte, dass 0 immer im Kern ist)
+        ⟹ φ injektiv.
+
+        ODER
+
+        Aus Korollar 6.1.15 folgt φ ein Iso, weil {w1, w2, w3} eine Basis ist.
 
     iii) setze w3 = 0. Konstruiere φ wie oben.
-    Dann erfüllt φ die 3 erwünschten Eigenschaften.
+        Dann erfüllt φ die erwünschten Eigenschaften.
-    Und φ(v3) = w3 = 0, sodass Kern(φ) ≠ {0}, weil v3 ≠ 0.
+        Und φ(v3) = w3 = 0, sodass Kern(φ) ≠ {0}, weil v3 ≠ 0.
-    Darum ist φ nicht injektiv und damit kein Isomorphismus.
+        Darum ist φ nicht injektiv und damit kein Isomorphismus.
 
-    Wenn dim(W) = m, m eine endliche Zahl:
+## Zum Thema Rang <~~~> Inj/Surj
 
-    (1) φ injektiv  <==> Kern(φ) = {0}
+Wenn dim(W) = m, m eine endliche Zahl:
-                    <==> dim(Kern(φ)) = 0
-                    <==> dim(Bild(φ)) = dim(V)
-                    <==> Rang(φ) = dim(V)
-                    <==> Rang(φ) ≥ dim(V)
 
-    (2) φ surjektiv <==> Bild(φ) = W
+1.
-                    <==> dim(Bild(φ)) = dim(W) (=m)
+        φ injektiv  ⟺ Kern(φ) = {0}
-                    <==> Rang(φ) = dim(W)
+                    ⟺ dim(Kern(φ)) = 0
-                    <==> Rang(φ) ≥ dim(W)
+                    ⟺ dim(Bild(φ)) = dim(V)
+                    ⟺ Rang(φ) = dim(V)
+                    ⟺ Rang(φ) ≥ dim(V)
 
-        z. B. wenn Bild(φ) = lin{w1, w2, ..., w_r} und {w1, w2, ..., w_r} lin unabh.
+2.
-        dann dim(Bild(φ)) = r
 
+        φ surjektiv ⟺ Bild(φ) = W
+                    ⟺ dim(Bild(φ)) = dim(W) (=m)
+                    ⟺ Rang(φ) = dim(W)
+                    ⟺ Rang(φ) ≥ dim(W)
+
+Der Punkt? Wir können Rang(φ) _berechnen_.
+
+Anwendung: z. B. wenn Bild(φ) = lin{w1, w2, ..., w_r} und {w1, w2, ..., w_r} lin unabh,
+dann gilt offensichtlich dim(Bild(φ)) = r.
+
+Und falls wir nicht wissen, ob {w1, w2, ..., w_r} lin unabh ist,
+dann wissen wir dennoch mindestens, dass dim(Bild(φ)) ≤ r,
+weil wir eine Teilmenge aus ≤r Vektoren finden können,
+die eine Basis für Bild(φ) bilden.
 
 ## MATRIZEN ##
 
@@ -121,7 +144,7 @@ d)
 
 Es seien U, V und W Vektorräume über einem Körper K. Seien φ: U → V und ψ : V → W lineare Abbildungen.
 
-    Beh. ψ ◦ φ injektiv <==> (φ injektiv ist + Kern(ψ) ∩ Bild(φ) = {0}).
+    Beh. ψ ◦ φ injektiv ⟺ (φ injektiv ist + Kern(ψ) ∩ Bild(φ) = {0}).
 
     Beweis.
         (⟹) Angenommen, ψ ◦ φ injektiv.