master > master: ÜB10
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699da2c0ea
commit
837e260667
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@ -63,6 +63,8 @@
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%% |
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%% ---- body/uebung/ueb9.tex;
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%% |
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%% ---- body/uebung/ueb10.tex;
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%% |
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%% ---- body/ska/ska4.tex;
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%% |
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%% ---- body/ska/ska5.tex;
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@ -1308,6 +1310,7 @@
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%% MATHE:
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%% ****************************************************************
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||||
\def\cal#1{\mathcal{#1}}
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||||
\def\reell{\mathbb{R}}
|
||||
\def\kmplx{\mathbb{C}}
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||||
\def\Torus{\mathbb{T}}
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||||
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@ -6349,6 +6352,773 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
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|||
ist dies zur Injektivität von $\psi\circ\phi$ äquivalent.
|
||||
\end{proof}
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||||
%% ********************************************************************************
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%% FILE: body/uebung/ueb10.tex
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%% ********************************************************************************
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||||
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||||
\setcounternach{chapter}{10}
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||||
\chapter[Woche 10]{Woche 10}
|
||||
\label{ueb:10}
|
||||
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||||
\textbf{ACHTUNG.}
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||||
Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz.
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||||
Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird.
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||||
Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann.
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||||
%% AUFGABE 10-1
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||||
\section[Aufgabe 1]{}
|
||||
\label{ueb:10:ex:1}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
Seien $V,W,X$ Vektorräume über einem Körper $K$
|
||||
und seien ${\phi:V\to W}$ und ${\psi:W\to X}$ linear.
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||||
Des Weiteren sei angenommen, $V,W,X$ seien endlich dimensional.
|
||||
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||||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||||
%% AUFGABE 10-1(a)
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||||
\item\voritemise
|
||||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
$\rank(\psi\circ\phi)\leq\min\{\rank(\psi),\rank(\phi)\}$.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
\end{schattierteboxdunn}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $d=\rank(\psi\circ\phi)=\dim(\range(\psi\circ\phi))$.
|
||||
\textbf{Zu zeigen:}
|
||||
${d\leq\rank(\psi)\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\psi))}$
|
||||
und
|
||||
${d\leq\rank(\phi)\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi))}$.
|
||||
Da $d=\dim(\range(\psi\circ\phi))$, existiert eine Basis
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||||
(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})\subseteq\range(\psi\circ\phi)\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
für $\range(\psi\circ\phi)$.
|
||||
Insbesondere sind $x_{1},x_{2},\ldots,x_{d}$ linear unabhängig.
|
||||
Da jedes $x_{i}\in\range(\psi\circ\phi)$, existieren $v_{i}\in V$,
|
||||
so dass $(\psi\circ\phi)(v_{i})=x_{i}$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$.
|
||||
Setze außerdem $w_{i}:=\phi(v_{i})$ für jedes ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$.
|
||||
Darum $x_{i}=(\psi\circ\phi)(v_{i})=\psi(\phi(v_{i}))=\psi(w_{i})$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$.
|
||||
|
||||
Da ${x_{i}=\psi(w_{i})\in\range(\psi)}$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$,
|
||||
folgt aus der linearen Unabhängigkeit von
|
||||
${(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})}$,
|
||||
dass \fbox{$d\leq\dim(\range(\psi))$}
|
||||
(siehe \cite[Satz~5.3.4]{sinn2020}).
|
||||
|
||||
Es bleibt noch zu zeigen, dass $d\leq\rank(\phi)$ gilt.
|
||||
Da $w_{i}\in\range(\phi)$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$,
|
||||
reicht es aus wie oben zu zeigen,
|
||||
dass ${(w_{1},w_{2},\ldots,w_{d})}$ linear unabhängig sind.
|
||||
Seien also $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}\in K$ beliebig
|
||||
mit $\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}=\zerovector$.
|
||||
\textbf{Zu zeigen:} $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}$.
|
||||
Es gilt nun
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rclql}
|
||||
\sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i}
|
||||
&= &\sum_{i=1}^{d}c_{i}\psi(w_{i})
|
||||
&\text{(siehe oben)}\\
|
||||
&= &\psi(\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i})
|
||||
&\text{wegen Linearität}\\
|
||||
&= &\psi(\zerovector)
|
||||
&\text{per Voraussetzung}\\
|
||||
&= &\zerovector
|
||||
&\text{(siehe \cite[Lemma~6.1.2]{sinn2020})}.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Wegen linearer Unabhängigkeit von ${(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})}$,
|
||||
folgt hieraus, dass $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}$.
|
||||
Damit haben wir die lineare Unabhängigkeit von ${(w_{1},w_{2},\ldots,w_{d})}$ bewiesen.
|
||||
Da $w_{i}\in\range(\phi)$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$,
|
||||
erschließt sich aus der linearen Unabhängigkeit
|
||||
\fbox{$d\leq\dim(\range(\phi))$}
|
||||
(siehe \cite[Satz~5.3.4]{sinn2020}).
|
||||
\end{proof}
|
||||
%% AUFGABE 10-1(b)
|
||||
\item\voritemise
|
||||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Falls $\psi$ injektiv ist,
|
||||
so gilt $\rank(\psi\circ\phi)=\rank(\phi)$.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
\end{schattierteboxdunn}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Laut Teil (a) wissen wir bereits, dass $\rank(\psi\circ\phi)\leq\rank(\phi)$.
|
||||
Es bleibt \textbf{zu zeigen}, dass $\rank(\psi\circ\phi)\geq\rank(\phi)$.
|
||||
Sei $d:=\rank(\phi)\textoverset{Defn}{=}\rank(\range(\phi))$.
|
||||
Dann existiert eine Basis
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||||
(w_{1},w_{2},\ldots,w_{d})\subseteq\range(\phi)\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
für $\range(\phi)$.
|
||||
Da jedes $w_{i}\in\range(\phi)$, existieren $v_{i}\in V$,
|
||||
so dass $\phi(v_{i})=w_{i}$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$.
|
||||
Setze außerdem
|
||||
$x_{i}:=\psi(w_{i})=\psi(\phi(v_{i}))=(\psi\circ\phi)(v_{i})\in\range(\psi\circ\phi)$
|
||||
für jedes ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$.
|
||||
|
||||
Wir zeigen nun, dass
|
||||
$(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})$
|
||||
linear unabhängig ist.
|
||||
Seien also $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}\in K$ beliebig
|
||||
mit $\sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i}=\zerovector$.
|
||||
\textbf{Zu zeigen:} $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}$.
|
||||
Es gilt nun
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rclql}
|
||||
\psi(\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i})
|
||||
&= &\sum_{i=1}^{d}c_{i}\psi(w_{i})
|
||||
&\text{wegen Linearität}\\
|
||||
&= &\sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i}
|
||||
&\text{per Konstruktion}\\
|
||||
&= &\zerovector
|
||||
&\text{per Voraussetzung}.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Darum $\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}\in\ker(\psi)=\{\zerovector\}$
|
||||
wegen \uline{Injektivität} von $\psi$ (siehe \cite[Lemma~6.1.4]{sinn2020}).
|
||||
Also $\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}=\zerovector$,
|
||||
woraus sich ergibt, dass $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}$,
|
||||
weil ${(w_{1},w_{2},\ldots,w_{d})}$ linear unabhängig ist.
|
||||
Darum haben wir die lineare Unabhängigkeit von $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})$ bewiesen.
|
||||
|
||||
Da $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})$ linear unabhängig ist
|
||||
und $x_{i}\in\range(\psi\circ\phi)$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$,
|
||||
folgt \fbox{$%
|
||||
d\leq\dim(\range(\psi\circ\phi))
|
||||
\textoverset{Defn}{=}\rank(\psi\circ\phi)%
|
||||
$}
|
||||
(siehe \cite[Satz~5.3.4]{sinn2020}).
|
||||
\end{proof}
|
||||
%% AUFGABE 10-1(c)
|
||||
\item\voritemise
|
||||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Falls $\phi$ surjektiv ist,
|
||||
so gilt $\rank(\psi\circ\phi)=\rank(\psi)$.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
\end{schattierteboxdunn}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Es gilt
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[bc]{rcl}
|
||||
\rank(\psi\circ\phi)
|
||||
&\textoverset{Defn}{=}
|
||||
&\dim(\range(\psi\circ\phi))\\
|
||||
&= &\dim((\psi\circ\phi)(V))\\
|
||||
&= &\dim(\psi(\phi(V)))\\
|
||||
&= &\dim(\psi(\range(\phi)))\\
|
||||
&= &\dim(\psi(W)),
|
||||
\quad\text{da $\phi$ surjektiv ist}\\
|
||||
&= &\dim(\range(\psi))\\
|
||||
&\textoverset{Defn}{=}
|
||||
&\rank(\psi).\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 10-2
|
||||
\clearpage
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||||
\section[Aufgabe 2]{}
|
||||
\label{ueb:10:ex:2}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
Seien
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{ccccc}
|
||||
v_{1} = \begin{vector} 2\\ 1\\\end{vector},
|
||||
&v_{2} = \begin{vector} -1\\ 1\\\end{vector},
|
||||
&w_{1} = \begin{vector} 1\\ 1\\ 0\\\end{vector},
|
||||
&w_{2} = \begin{vector} 1\\ -1\\ 2\\\end{vector},
|
||||
&w_{3} = \begin{vector} 0\\ 3\\ -1\\\end{vector}.
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Zuerst beoachten wir dass
|
||||
$\cal{A}:=(v_{1},\,v_{2})$
|
||||
und
|
||||
$\cal{B}:=(w_{1},\,w_{2},\,w_{3})$
|
||||
Basen für $\reell^{2}$ bzw. $\reell^{3}$:
|
||||
|
||||
Setze
|
||||
${A:=(v_{1}\ v_{2})=\begin{smatrix}
|
||||
2 &-1\\
|
||||
1 &1\\
|
||||
\end{smatrix}}$
|
||||
und
|
||||
${B:=(w_{1}\ w_{2}\ w_{3})=\begin{smatrix}
|
||||
1 &1 &0\\
|
||||
1 &-1 &3\\
|
||||
0 &2 &-1\\
|
||||
\end{smatrix}}$.
|
||||
Anwendung des Gaußverfahrens liefert
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rclcl}
|
||||
A
|
||||
&\xrightarrow{
|
||||
Z_{2}\mapsfrom 2\cdot Z_{2} - Z_{1}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rr}
|
||||
\boxed{2} &-1\\
|
||||
0 &\boxed{3}\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
B
|
||||
&\xrightarrow{
|
||||
Z_{2}\mapsfrom Z_{2} - Z_{1}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrr}
|
||||
1 &1 &0\\
|
||||
0 &-2 &3\\
|
||||
0 &2 &-1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
&\xrightarrow{
|
||||
Z_{3}\mapsfrom Z_{3} + Z_{2}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrr}
|
||||
\boxed{1} &1 &0\\
|
||||
0 &\boxed{-2} &3\\
|
||||
0 &0 &\boxed{2}\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Darum gilt
|
||||
${\rank(A)=2=\dim(\reell^{2})}$
|
||||
und
|
||||
${\rank(B)=3=\dim(\reell^{3})}$,
|
||||
woraus sich ergibt,
|
||||
dass
|
||||
$\cal{A}$ eine Basis für $\reell^{2}$
|
||||
und $\cal{B}$ eine Basis für $\reell^{3}$
|
||||
sind (vgl. \cite[Korollar~5.4.4]{sinn2020}).
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||||
%% AUFGABE 10-2(a)
|
||||
\item
|
||||
Für $x\in\reell^{2}$ sei $\phi(x)\in\reell^{2}$ definiert durch
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||||
\phi(x)
|
||||
&= &\begin{vector} 2x_{1}\\ -x_{2}\\\end{vector}
|
||||
&= &\begin{vector} 2\\ 0\\\end{vector}x_{1}
|
||||
+ \begin{vector} 0\\ -1\\\end{vector}x_{2}
|
||||
&= &\underbrace{
|
||||
\begin{matrix}{rr}
|
||||
2 &0\\
|
||||
0 &-1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
}_{=:C}
|
||||
x.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Also gilt $\phi=\phi_{C}$.
|
||||
Folglich gilt $M^{\cal{A}}_{\cal{A}}(\phi)=A^{-1}CA$.
|
||||
Um dies zu berechnen betrachten wir das augmentierte System
|
||||
$\left(A \vert CA\right)$
|
||||
und führen darauf das Gaußverfahren, bis die linke Hälfte wie die Identitätsmatrix aussieht.
|
||||
Dann steht in der rechten Hälfte die Matrix $A^{-1}CA$.
|
||||
Es gilt
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||||
CA &= &\begin{matrix}{rr}
|
||||
2 &0\\
|
||||
0 &-1\\
|
||||
\end{matrix} \begin{matrix}{rr}
|
||||
2 &-1\\
|
||||
1 &1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
&= &
|
||||
\begin{matrix}{rr}
|
||||
4 &-2\\
|
||||
-1 &-1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Und das augmentierte System, $\left(A \vert CA\right)$, wird wie folgt reduziert:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\begin{matrix}{rr|rr}
|
||||
2 &-1 &4 &-2\\
|
||||
1 &1 &-1 &-1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
&\xrightarrow{
|
||||
Z_{2}\mapsfrom 2\cdot Z_{2} - Z_{1}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rr|rr}
|
||||
2 &-1 &4 &-2\\
|
||||
0 &3 &-6 &0\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
&\xrightarrow{
|
||||
Z_{1}\mapsfrom 3\cdot Z_{1} + Z_{2}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rr|rr}
|
||||
6 &0 &6 &-6\\
|
||||
0 &3 &-6 &0\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
&\xrightarrow{
|
||||
\substack{
|
||||
Z_{1}\mapsfrom Z_{1}:6\\
|
||||
Z_{2}\mapsfrom Z_{2}:3\\
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rr|rr}
|
||||
1 &0 &1 &-1\\
|
||||
0 &1 &-2 &0\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Darum gilt $M^{\cal{A}}_{\cal{A}}(\phi)=A^{-1}CA=\boxed{\begin{matrix}{rr}
|
||||
1 &-1\\
|
||||
-2 &0\\
|
||||
\end{matrix}}$.
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 10-2(b)
|
||||
\item
|
||||
Für $x\in\reell^{2}$ sei $\phi(x)\in\reell^{3}$ definiert durch
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||||
\phi(x)
|
||||
&= &\begin{vector} x_{1}+x_{2}\\ 5x_{2}-x_{1}\\ 2x_{1}-4x_{2}\\\end{vector}
|
||||
&= &\begin{vector} 1\\ -1\\ 2\\\end{vector}x_{1}
|
||||
+ \begin{vector} 1\\ 5\\ -4\\\end{vector}x_{2}
|
||||
&= &\underbrace{
|
||||
\begin{matrix}{rr}
|
||||
1 &1\\
|
||||
-1 &5\\
|
||||
2 &-4\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
}_{=:C}
|
||||
x.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Also gilt $\phi=\phi_{C}$.
|
||||
Folglich gilt $M^{\cal{A}}_{\cal{B}}(\phi)=B^{-1}CA$.
|
||||
Um dies zu berechnen betrachten wir das augmentierte System
|
||||
$\left(B \vert CA\right)$
|
||||
und führen darauf das Gaußverfahren, bis die linke Hälfte wie die Identitätsmatrix aussieht.
|
||||
Dann steht in der rechten Hälfte die Matrix $B^{-1}CA$.
|
||||
Es gilt
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||||
CA &= &\begin{matrix}{rr}
|
||||
1 &1\\
|
||||
-1 &5\\
|
||||
2 &-4\\
|
||||
\end{matrix} \begin{matrix}{rr}
|
||||
2 &-1\\
|
||||
1 &1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
&= &
|
||||
\begin{matrix}{rrr}
|
||||
3 &0\\
|
||||
3 &6\\
|
||||
0 &-6\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Und das augmentierte System, $\left(B \vert CA\right)$, wird wie folgt reduziert:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\begin{matrix}{rrr|rr}
|
||||
1 &1 &0 &3 &0\\
|
||||
1 &-1 &3 &3 &6\\
|
||||
0 &2 &-1 &0 &-6\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
&\xrightarrow{
|
||||
Z_{2}\mapsfrom Z_{1} - Z_{2}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrr|rr}
|
||||
1 &1 &0 &3 &0\\
|
||||
0 &2 &-3 &0 &-6\\
|
||||
0 &2 &-1 &0 &-6\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
&\xrightarrow{
|
||||
\substack{
|
||||
Z_{1}\mapsfrom 2\cdot Z_{1}-Z_{2}\\
|
||||
Z_{3}\mapsfrom Z_{3}-Z_{2}\\
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrr|rr}
|
||||
2 &0 &3 &6 &6\\
|
||||
0 &2 &-3 &0 &-6\\
|
||||
0 &0 &2 &0 &0\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
&\xrightarrow{
|
||||
\substack{
|
||||
Z_{1}\mapsfrom 2\cdot Z_{1} - 3\cdot Z_{3}\\
|
||||
Z_{2}\mapsfrom 2\cdot Z_{1} + 3\cdot Z_{3}\\
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrr|rr}
|
||||
4 &0 &0 &12 &12\\
|
||||
0 &4 &0 &0 &-12\\
|
||||
0 &0 &2 &0 &0\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
&\xrightarrow{
|
||||
\substack{
|
||||
Z_{1}\mapsfrom Z_{1}:4\\
|
||||
Z_{2}\mapsfrom Z_{2}:4\\
|
||||
Z_{3}\mapsfrom Z_{3}:2\\
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrr|rr}
|
||||
1 &0 &0 &3 &3\\
|
||||
0 &1 &0 &0 &-3\\
|
||||
0 &0 &1 &0 &0\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Darum gilt $M^{\cal{A}}_{\cal{B}}(\phi)=B^{-1}CA=\boxed{\begin{matrix}{rr}
|
||||
3 &3\\
|
||||
0 &-3\\
|
||||
0 &0\\
|
||||
\end{matrix}}$.
|
||||
|
||||
\item
|
||||
Für $x\in\reell^{3}$ sei $\phi(x)\in\reell^{2}$ definiert durch
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||||
\phi(x)
|
||||
&= &\begin{vector} 2x_{2}\\ 3x_{1}-4x_{3}\\\end{vector}
|
||||
&= &\begin{vector} 0\\ 3\\\end{vector}x_{1}
|
||||
+ \begin{vector} 2\\ 0\\\end{vector}x_{2}
|
||||
+ \begin{vector} 0\\ -4\\\end{vector}x_{3}
|
||||
&= &\underbrace{
|
||||
\begin{matrix}{rrr}
|
||||
0 &2 &0\\
|
||||
3 &0 &-4\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
}_{=:C}
|
||||
x.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Also gilt $\phi=\phi_{C}$.
|
||||
Folglich gilt $M^{\cal{B}}_{\cal{A}}(\phi)=A^{-1}CB$.
|
||||
Um dies zu berechnen betrachten wir das augmentierte System
|
||||
$\left(A \vert CB\right)$
|
||||
und führen darauf das Gaußverfahren, bis die linke Hälfte wie die Identitätsmatrix aussieht.
|
||||
Dann steht in der rechten Hälfte die Matrix $A^{-1}CB$.
|
||||
Es gilt
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||||
CB &= &\begin{matrix}{rrr}
|
||||
0 &2 &0\\
|
||||
3 &0 &-4\\
|
||||
\end{matrix} \begin{matrix}{rrr}
|
||||
1 &1 &0\\
|
||||
1 &-1 &3\\
|
||||
0 &2 &-1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
&= &
|
||||
\begin{matrix}{rrr}
|
||||
2 &-2 &6\\
|
||||
3 &-5 &4\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Und das augmentierte System, $\left(A \vert CB\right)$, wird wie folgt reduziert:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\begin{matrix}{rr|rrr}
|
||||
2 &-1 &2 &-2 &6\\
|
||||
1 &1 &3 &-5 &4\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
&\xrightarrow{
|
||||
Z_{2}\mapsfrom 2\cdot Z_{2} - Z_{1}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rr|rrr}
|
||||
2 &-1 &2 &-2 &6\\
|
||||
0 &3 &4 &-8 &2\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
&\xrightarrow{
|
||||
Z_{1}\mapsfrom 3\cdot Z_{1}+Z_{2}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rr|rrr}
|
||||
6 &0 &10 &-14 &20\\
|
||||
0 &3 &4 &-8 &2\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
&\xrightarrow{
|
||||
\substack{
|
||||
Z_{1}\mapsfrom Z_{1}:6\\
|
||||
Z_{2}\mapsfrom Z_{2}:3\\
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rr|rrr}
|
||||
1 &0 &5/3 &-7/3 &10/3\\
|
||||
0 &1 &4/3 &-8/3 &2/3\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Darum gilt $M^{\cal{B}}_{\cal{A}}(\phi)=A^{-1}CB=\boxed{\begin{matrix}{rrr}
|
||||
5/3 &-7/3 &10/3\\
|
||||
4/3 &-8/3 &2/3\\
|
||||
\end{matrix}}$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 10-3
|
||||
\clearpage
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||||
\section[Aufgabe 3]{}
|
||||
\label{ueb:10:ex:3}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
Seien $d\in\ntrlpos$ und $a\in\reell$.
|
||||
Betrachet sei die Abbildung
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||||
\phi &: &\reell[x]_{\leq d} &\to &\reell[x]_{\leq d}\\
|
||||
&: &f(x) &\mapsto &f(x+a)\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Bevor wir die uns den Aufgaben widmen,
|
||||
machen wir von der binomischen Formel mehrfach Gebrauch
|
||||
und beobachten wir
|
||||
für
|
||||
$f\in\reell[x]_{\leq d}$
|
||||
der Form $f=\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}x^{k}$,
|
||||
wobei $\alpha_{0},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{d}\in\reell$,
|
||||
dass
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\eqtag[eq:0:ueb:10:ex:3]
|
||||
\phi(f)(x)
|
||||
&= &f(x+a)\\
|
||||
&= &\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}(x+a)^{k}\\
|
||||
&= &\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}\sum_{i=0}^{k}\choose{k}{i}a^{k-i}x^{i}
|
||||
\quad\text{(Anwendung der bin. Formel)}\\
|
||||
&= &\sum_{k=0}^{d}\sum_{i=0}^{k}\alpha_{k}\choose{k}{i}a^{k-i}x^{i}\\
|
||||
&= &\sum_{i=0}^{d}
|
||||
\big(
|
||||
\underbrace{
|
||||
\sum_{k=i}^{d}
|
||||
\choose{k}{i}a^{k-i}\alpha_{k}
|
||||
}_{=:\alpha'_{i}}
|
||||
\big)
|
||||
x^{i}.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Insbesondere ist es zumindest klar,
|
||||
dass $\phi(f)\in\reell[x]_{\leq d}$
|
||||
für alle $f\in\reell[x]_{\leq d}$
|
||||
gilt. D.\,h. $\phi$ ist wohldefiniert.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||||
%% AUFGABE 10-3(a)
|
||||
\item
|
||||
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
$\phi$ ist linear.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Ansatz I]
|
||||
Wir beweisen die Aussage direkt.
|
||||
Für diesen Beweis ist es wichtig, dass wir die Objekte des Vektorraumes,
|
||||
$\reell[x]_{\leq d}$
|
||||
wirklich als Funktionen und nicht als abstrakte Objekt betrachten.
|
||||
|
||||
Es reicht aus \textbf{zu zeigen},
|
||||
dass $\phi$ dem (LIN)-Axiom genügt (siehe \cite[\S{}6.1]{sinn2020}).
|
||||
Seien also $c,c'\in\reell$ und $f,g\in\reell[x]_{\leq d}$ beliebig.
|
||||
\textbf{Zu zeigen:} $\phi(cf+c'g)=c\phi(f)+c'\phi(g)$.
|
||||
Für alle $x\in\reell$ berechnen wir
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\eqtag[eq:1:ueb:10:ex:3]
|
||||
(\phi(cf+c'g))(x)
|
||||
&\textoverset{Defn}{=}
|
||||
&(cf+c'g)(x+a)\\
|
||||
&\textoverset{($\ast$)}{=}
|
||||
&(cf)(x+a)+(c'g)(x+a)\\
|
||||
&\textoverset{($\ast$)}{=}
|
||||
&c\cdot (f(x+a)) + c'\cdot (g(x+a))\\
|
||||
&\textoverset{Defn}{=}
|
||||
&c\cdot(\phi(f)(x)) + c'\cdot(\phi(g)(x))\\
|
||||
&\textoverset{($\ast$)}{=}
|
||||
&(c\cdot\phi(f))(x) + (c'\cdot\phi(g))(x)\\
|
||||
&\textoverset{($\ast$)}{=}
|
||||
&(c\cdot\phi(f)+c'\cdot\phi(g))(x)\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Hier gelten die mit ($\ast$) gekennzeichneten Gleichungen,
|
||||
per Definition von (punktweise) Skalarmultiplikation und Vektoraddition
|
||||
innerhalb des Vektorraumes, der aus $\reell$-wertigen Funktionen besteht.
|
||||
|
||||
Da nun \eqcref{eq:1:ueb:10:ex:3} für alle $x\in\reell$ gilt,
|
||||
haben wir beweisen, dass $\phi(cf+c'g)=c\phi(f)+c'\phi(g)$
|
||||
für alle $c,c'\in\reell$ und $f,g\in\reell[x]_{\leq d}$
|
||||
Darum gilt das (LIN)-Axiom.
|
||||
Somit ist $\phi$ linear.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Ansatz II]
|
||||
In diesem Ansatz machen wir von Darstellungsmatrizen Gebrauch.
|
||||
Da nun ${\cal{B}=\{x^{0},x^{1},\ldots,x^{d}\}}$ eine Basis von ${V:=\reell[x]_{\leq d}}$ ist
|
||||
und $\phi$ eine wohldefinierte Funktion von $V$ nach $V$ ist,
|
||||
können wir o.\,E. $\phi$ als Abbildung von $\reell^{d+1}$ nach $\reell^{d+1}$ betrachten.
|
||||
Bezeichen wir diese Abbildung als $\tilde{\phi}$.
|
||||
Da $\reell^{d+1}$ zu $V$ isomorph ist,
|
||||
reicht es aus, um die Linearität von $\phi$ zu beweisen,
|
||||
\textbf{zu zeigen},
|
||||
dass eine Matrix $C\in\reell^{(d+1)\times(d+1)}$ existiert,
|
||||
so dass $\tilde{\phi}$ gleich $\phi_{C}$ ist,
|
||||
was auf jeden Fall linear ist (siehe \cite[\S{}6.2]{sinn2020}).
|
||||
Zu diesem Zwecke konstruieren wir die Matrix,
|
||||
${C\in\reell^{(d+1)\times(d+1)}}$,
|
||||
mit Einträgen
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
C_{ij} &=
|
||||
&\begin{cases}[m]{ccl}
|
||||
\choose{j}{i}a^{j-i} &: &j\geq i\\
|
||||
0 &: &j<i\\
|
||||
\end{cases}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
für ${i,j\in\{0,1,\ldots,d\}}$.
|
||||
Laut \eqcref{eq:0:ueb:10:ex:3} gilt für alle
|
||||
${\mathbf{\alpha}\in\reell^{d+1}}$
|
||||
unter Betrachtung des entsprechenden Objekts
|
||||
${f=\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}x^{k}\in\reell[x]_{\leq d}}$
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\tilde{\phi}(\mathbf{\alpha}) &= &\mathbf{\alpha}'\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
wobei $\mathbf{\alpha}'\in\reell^{d+1}$ durch
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\mathbf{\alpha}'_{i}
|
||||
&\eqcrefoverset{eq:0:ueb:10:ex:3}{=}
|
||||
&\sum_{j=i}^{d}\choose{j}{i}a^{j-i}\alpha_{j}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
für alle ${i\in\{0,1,\ldots,d+1\}}$ gegeben ist.
|
||||
Beachte nun, dass
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||||
\sum_{j=i}^{d}\choose{j}{i}a^{j-i}\alpha_{j}
|
||||
&= &\sum_{j=i}^{d}C_{ij}\alpha_{j}
|
||||
&= &\sum_{j=0}^{d}C_{ij}\alpha_{j}
|
||||
&= &\text{das $i$-te Element von}\,C\cdot\mathbf{\alpha}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
für alle ${i\in\{0,1,\ldots,d+1\}}$, da $C_{ij}=0$ für $0\leq j<i$.
|
||||
Darum gilt
|
||||
$\tilde{\phi}(\mathbf{\alpha})
|
||||
=C\cdot\mathbf{\alpha}
|
||||
=\phi_{C}(\mathbf{\alpha})$
|
||||
für alle $\mathbf{\alpha}\in\reell^{d+1}$.
|
||||
Also, $\tilde{\phi}=\phi_{C}$.
|
||||
Darum ist $\phi$ wie oben erklärt linear.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 10-3(b)
|
||||
\item
|
||||
Laut Teil (a) ist $\phi$ linear, und somit hat $\phi$
|
||||
eine (eindeutige) Matrizendarstellung
|
||||
$M^{\cal{B}}_{\cal{B}}(\phi)\in\reell^{(d+1)\times (d+1)}$.
|
||||
Wir haben dies im 2. Ansatz im Allgemeinen explizit ausgerechnet
|
||||
(siehe die Konstruktion von $C$ in diesem Beweis).
|
||||
Für $d=4$ ist dies nun
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
M^{\cal{B}}_{\cal{B}}(\phi)
|
||||
&= &\begin{matrix}{ccccc}
|
||||
\choose{0}{0}a^{0} &\choose{1}{0}a^{1} &\choose{2}{0}a^{2} &\choose{3}{0}a^{3} &\choose{4}{0}a^{4}\\
|
||||
0 &\choose{1}{1}a^{0} &\choose{2}{1}a^{1} &\choose{3}{1}a^{2} &\choose{4}{1}a^{3}\\
|
||||
0 &0 &\choose{2}{2}a^{0} &\choose{3}{2}a^{1} &\choose{4}{2}a^{2}\\
|
||||
0 &0 &0 &\choose{3}{3}a^{0} &\choose{4}{3}a^{1}\\
|
||||
0 &0 &0 &0 &\choose{4}{4}a^{0}\\
|
||||
\end{matrix}\\
|
||||
&= &\begin{matrix}{ccccc}
|
||||
1 &a &a^{2} &a^{3} &a^{4}\\
|
||||
0 &1 &2a &3a^{2} &4a^{3}\\
|
||||
0 &0 &1 &3a &6a^{2}\\
|
||||
0 &0 &0 &1 &4a\\
|
||||
0 &0 &0 &0 &1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Als \textbf{Alternative} können wir (davon ausgehend, dass $\phi$ linear ist)
|
||||
einfach die Abbildung auf die Basiselemente anwenden,
|
||||
diese wiederum in Bezug auf die Basis umschreiben
|
||||
und daraus die Darstellungsmatrix ablesen:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rclclcl}
|
||||
\phi(x^{0})
|
||||
&= &(x+a)^{0}
|
||||
&= &
|
||||
1\cdot x^{0}
|
||||
&\cong &\begin{svector} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}\\
|
||||
\phi(x^{1})
|
||||
&= &(x+a)^{1}
|
||||
&= &
|
||||
a\cdot x^{0} + 1\cdot x^{1}
|
||||
&\cong &\begin{svector} a\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}\\
|
||||
\phi(x^{2})
|
||||
&= &(x+a)^{2}
|
||||
&= &
|
||||
a^{2}\cdot x^{0} + 2a\cdot x^{1} + 1\cdot x^{2}
|
||||
&\cong &\begin{svector} a^{2}\\ 2a\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}\\
|
||||
\phi(x^{3})
|
||||
&= &(x+a)^{3}
|
||||
&= &
|
||||
a^{3}\cdot x^{0} + 3a^{2}\cdot x^{1} + 3a\cdot x^{2} + 1\cdot x^{3}
|
||||
&\cong &\begin{svector} a^{3}\\ 3a^{2}\\ 3a\\ 1\\ 0\\\end{svector}\\
|
||||
\phi(x^{4})
|
||||
&= &(x+a)^{4}
|
||||
&= &
|
||||
a^{4}\cdot x^{0} + 4a^{3}\cdot x^{1} + 6a^{2}\cdot x^{2} + 4a\cdot x^{3} + 1\cdot x^{4}
|
||||
&\cong &\begin{svector} a^{4}\\ 4a^{3}\\ 6a^{2}\\ 4a\\ 1\\\end{svector}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Wenn wir diese Spalten in eine Matrix aufführen,
|
||||
ergibt sich genau die o.\,s. Matrizendarstellung von $\phi$.
|
||||
|
||||
\textbf{Bemerkung.} Als kleine Bestätigung, dass dies »nicht offensichtlich falsch« sei,
|
||||
beachte, dass sich diese Matrix der Identitätsmatrix ($\cong$ Identitätsabbbildung)
|
||||
nähert als ${a\longrightarrow 0}$ in $\reell$, was zu erwarten ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\setcounternach{part}{2}
|
||||
\part{Selbstkontrollenaufgaben}
|
||||
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||||
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