master > master: protokoll woche 3

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# Vorlesungswoche 3 (26. April – 2. Mai) #
- [x] Organisatorisches (max. 5 min)
- Erinnerung über Abgabe: Matrikelnr., 1 PDF.
- [x] Serie 1, Seminaraufgaben
- [x] SA 1.1: 5 Min
- Typen von Ausdrücken
- [x] SA 1.2: 10 Min
- **§3 Defn** aus VL2 (rekursiver Aufbau)
- Teilformeln
- Kurzhand-Konventionen (‘abuse of notation’) ... aber für _dieses Blatt_ noch nicht!!
- Endlichkeit
- Atome: inhaltsleer, aber Schnittstelle, um komplexe Zusammenhänge zu kodieren.
- [x] SA 1.3: 10 Min
- Interpretation
- Bedeutung??
- Konzept: Interpretation vs. Strukturen („Modelle“)
- Interpretation als Menge od. Fkt (Belegung)
- Interpretation vs. eval (erzeugt)
- funktionale Semantik als primäre Definition (VL2, Folie 43)
... Wahrheitstabelle _nur_ als Rechenverfahren
- Rechentricks in Wahrheitstabellen
- ¬: kehre alle Werte um.
- [Spalte 1] ∨ [Spalte 2]: alles 1, außer Zeilen wo beide Spalten 0
- [Spalte 1] ∨ [Spalte 2]: alles 0, außer Zeilen wo beide Spalten 1
- [Spalte 1] ⟶ [Spalte 2]: alles 1, außer Zeilen wo [Spalte 1]=1 und [Spalte 1]=2
- [Spalte 1] ⟷ [Spalte 2]: 1, wo Spalte1 = Spalte 2, sonst 0
- **Lösung:**
```
| A₁ A₂ A₃ | ¬A₂ | A₃ ⟶ ¬A₂ | A₁ ∨ (A₃ ⟶ ¬A₂) | F |
| :------- | :--- | :--------- | :--------------- | :-- |
| 0 0 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 0 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 1 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 1 1 | 0 | *0 | *0 | 1 | <---
| 1 0 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 0 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 1 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 1 1 | 0 | *0 | 1 | 0 |
```
**Beachte:** In den Spalten mit \* musste man nur diese Zeilen mit Fällen
(1 ⟶ 0) bzw. (0 ∨ 0) aussuchen und auf 0 setzen,
für alle anderen Zeilen wird auf 1 gesetzt.
- [-] SA 1.4: 10 Min
- Entscheidungsverfahren anhand Wahrheitstabellen, ob (vgl. **§10 Defn**)
- F tautologisch ?
- F erfüllbar, und I |= F ?
- Frage: Heißt erfüllbar, dass es **genau 1** Interp. gibt??
- |= sem. Folgerungsbeziehung / sem. entailment (-> Modelle)
- |- synt. Folgerungsbeziehung / synt. entailment (-> Kalkül)
- F widerlegbar
- F nicht erfüllbar
- Am Rand: Algorithmus durch Wahrheitstabelle -> brute force.
- **Lösung:**
- F = (A₀ ⟶ A₂) ⟶ A₁
```
| A₀ A₁ A₂ | A₀ ⟶ A₂ | F |
| :------- | :-------- | :-- |
| 0 0 0 | 1 | *0 |
| 0 0 1 | 1 | *0 |
| 0 1 0 | 1 | 1 |
| 0 1 1 | 1 | 1 |
| 1 0 0 | *0 | 1 |
| 1 0 1 | 1 | *0 |
| 1 1 0 | *0 | 1 |
| 1 1 1 | 1 | 1 |
```
In Zeilen mit * suchen wir Fälle 1 ⟶ 0 und setzen auf 0; sonst auf 1.<br>
Da manche Zeile 0, mache 1: erfüllbar √; widerlegbar √ (sonst nichts).
- F = (A₀ ∨ A₁) ∧ ¬(A₀ ∨ A₁)
<br>
In jeder Zeile wird (blabla) auf 0 und ¬(blabla) auf 1 oder umgekehrt ausgewertet.<br>
Darum gilt in jeder Zeile (blabla) ∧ ¬(blabla) = 0.
<br>
Da _alle_ Zeile 0: widerlegbar √; nicht erfüllbar √ (sonst nichts).
- F = A₁ ∨ (A₂ ∧ A₁)
```
| A₁ A₂ | A₂ ∧ A₁ | F |
| :---- | :------ | :-- |
| 0 0 | 0 | *0 |
| 0 1 | 0 | *0 |
| 1 0 | 0 | 1 |
| 1 1 | ^1 | 1 |
```
In Zeilen mit ^ suchen wir Fälle 1 ∧ 1 und setzen auf 1; sonst auf 0.<br>
In Zeilen mit * suchen wir Fälle 0 ∨ 0 und setzen auf 0; sonst auf 1.
<br>
Da manche Zeile 0, mache 1: erfüllbar √; widerlegbar √ (sonst nichts).
- F = (A₀ ⟶ A₁) ⟶ (A₁ ⟶ A₀)
```
| A₀ A₁ | A₀ ⟶ A₁ | A₁ ⟶ A₀ | F |
| :---- | :------- | :-------- | :-- |
| 0 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 1 | 1 | 1 | 1 |
```
In Zeilen mit * suchen wir Fälle 1 ⟶ 0 und setzen auf 0; sonst auf 1.
<br>
Da manche Zeile 0, mache 1: erfüllbar √; widerlegbar √ (sonst nichts).
Insgesamt:
```
| Formel | taut. | erf. | wid. | unerf. |
| :------------------------- | :---- | :--- | :--- | :----- |
| (A₀ ⟶ A₂) ⟶ A₁ | | √ | √ | |
| (A₀ ∨ A₁) ∧ ¬(A₀ ∨ A₁ ) | | | √ | √ |
| A₁ ∨ (A₂ ∧ A₁) | | √ | √ | |
| (A₀ ⟶ A₁) ⟶ (A₁ ⟶ A₀) | | √ | √ | |
```
**‘Parity check’**: Da [taut ⟹ (erf. und nicht wid.)] und [unerf ⟹ (wid. und nicht erf.)],
sind nur
```
x √ √ x
√ √ x x
x x √ √
```
möglich. Wenn man etwas andere als diese 3 Fälle bekommt, hat man einen Fehler gemacht!
- [x] weitere Fragen nach Aufzeichnungsende.
## Nächste Woche ##
- gerne auch bei den Montag + Dienstag Übungen reinschauen, weil wir alle versch. Themen besprechen werden.
- Mittwoch Thema:
- entweder rekursive Schemata / strukturelle Induktion; oder
- Bsp. wie man coole Probleme mithilfe auf Erfüllbarkeitsprobleme in der Aussagenlogik kodieren kann.
### TODOs (Studierende) ###
- Folie 3 durchlesen;
- weiter am ÜB 1 arbeiten : )
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