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# Vorlesungswoche 3 (26. April – 2. Mai) #
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## Agenda ##
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- [x] Organisatorisches (max. 5 min)
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- Erinnerung über Abgabe: Matrikelnr., 1 PDF.
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- [x] Serie 1, Seminaraufgaben
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- [x] SA 1.1: 5 Min
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- Typen von Ausdrücken
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- [x] SA 1.2: 10 Min
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- **§3 Defn** aus VL2 (rekursiver Aufbau)
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- Teilformeln
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- Kurzhand-Konventionen (‘abuse of notation’) ... aber für _dieses Blatt_ noch nicht!!
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- Endlichkeit
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- Atome: inhaltsleer, aber Schnittstelle, um komplexe Zusammenhänge zu kodieren.
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- [x] SA 1.3: 10 Min
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- Interpretation
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- Bedeutung??
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- Konzept: Interpretation vs. Strukturen („Modelle“)
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- Interpretation als Menge od. Fkt (Belegung)
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- Interpretation vs. eval (erzeugt)
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- funktionale Semantik als primäre Definition (VL2, Folie 43)
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... Wahrheitstabelle _nur_ als Rechenverfahren
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- Rechentricks in Wahrheitstabellen
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- ¬: kehre alle Werte um.
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- [Spalte 1] ∨ [Spalte 2]: alles 1, außer Zeilen wo beide Spalten 0
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- [Spalte 1] ∨ [Spalte 2]: alles 0, außer Zeilen wo beide Spalten 1
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- [Spalte 1] ⟶ [Spalte 2]: alles 1, außer Zeilen wo [Spalte 1]=1 und [Spalte 1]=2
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- [Spalte 1] ⟷ [Spalte 2]: 1, wo Spalte1 = Spalte 2, sonst 0
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- **Lösung:**
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```
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| A₁ A₂ A₃ | ¬A₂ | A₃ ⟶ ¬A₂ | A₁ ∨ (A₃ ⟶ ¬A₂) | F |
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| :------- | :--- | :--------- | :--------------- | :-- |
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| 0 0 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
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| 0 0 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
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| 0 1 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
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| 0 1 1 | 0 | *0 | *0 | 1 | <---
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| 1 0 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
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| 1 0 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
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| 1 1 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
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| 1 1 1 | 0 | *0 | 1 | 0 |
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```
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**Beachte:** In den Spalten mit \* musste man nur diese Zeilen mit Fällen
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(1 ⟶ 0) bzw. (0 ∨ 0) aussuchen und auf 0 setzen,
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für alle anderen Zeilen wird auf 1 gesetzt.
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- [-] SA 1.4: 10 Min
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- Entscheidungsverfahren anhand Wahrheitstabellen, ob (vgl. **§10 Defn**)
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- F tautologisch ?
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- F erfüllbar, und I |= F ?
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- Frage: Heißt erfüllbar, dass es **genau 1** Interp. gibt??
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- |= sem. Folgerungsbeziehung / sem. entailment (-> Modelle)
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- |- synt. Folgerungsbeziehung / synt. entailment (-> Kalkül)
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- F widerlegbar
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- F nicht erfüllbar
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- Am Rand: Algorithmus durch Wahrheitstabelle -> brute force.
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- **Lösung:**
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- F = (A₀ ⟶ A₂) ⟶ A₁
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```
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| A₀ A₁ A₂ | A₀ ⟶ A₂ | F |
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| :------- | :-------- | :-- |
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| 0 0 0 | 1 | *0 |
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| 0 0 1 | 1 | *0 |
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| 0 1 0 | 1 | 1 |
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| 0 1 1 | 1 | 1 |
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| 1 0 0 | *0 | 1 |
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| 1 0 1 | 1 | *0 |
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| 1 1 0 | *0 | 1 |
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| 1 1 1 | 1 | 1 |
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```
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In Zeilen mit * suchen wir Fälle 1 ⟶ 0 und setzen auf 0; sonst auf 1.<br>
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Da manche Zeile 0, mache 1: erfüllbar √; widerlegbar √ (sonst nichts).
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- F = (A₀ ∨ A₁) ∧ ¬(A₀ ∨ A₁)
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<br>
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In jeder Zeile wird (blabla) auf 0 und ¬(blabla) auf 1 oder umgekehrt ausgewertet.<br>
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Darum gilt in jeder Zeile (blabla) ∧ ¬(blabla) = 0.
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<br>
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Da _alle_ Zeile 0: widerlegbar √; nicht erfüllbar √ (sonst nichts).
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- F = A₁ ∨ (A₂ ∧ A₁)
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```
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| A₁ A₂ | A₂ ∧ A₁ | F |
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| :---- | :------ | :-- |
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| 0 0 | 0 | *0 |
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| 0 1 | 0 | *0 |
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| 1 0 | 0 | 1 |
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| 1 1 | ^1 | 1 |
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```
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In Zeilen mit ^ suchen wir Fälle 1 ∧ 1 und setzen auf 1; sonst auf 0.<br>
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In Zeilen mit * suchen wir Fälle 0 ∨ 0 und setzen auf 0; sonst auf 1.
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<br>
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Da manche Zeile 0, mache 1: erfüllbar √; widerlegbar √ (sonst nichts).
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- F = (A₀ ⟶ A₁) ⟶ (A₁ ⟶ A₀)
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```
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| A₀ A₁ | A₀ ⟶ A₁ | A₁ ⟶ A₀ | F |
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| :---- | :------- | :-------- | :-- |
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| 0 0 | 1 | 1 | 1 |
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| 0 1 | 1 | 0 | 0 |
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| 1 0 | 0 | 1 | 1 |
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| 1 1 | 1 | 1 | 1 |
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```
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||
In Zeilen mit * suchen wir Fälle 1 ⟶ 0 und setzen auf 0; sonst auf 1.
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<br>
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Da manche Zeile 0, mache 1: erfüllbar √; widerlegbar √ (sonst nichts).
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Insgesamt:
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```
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| Formel | taut. | erf. | wid. | unerf. |
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| :------------------------- | :---- | :--- | :--- | :----- |
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| (A₀ ⟶ A₂) ⟶ A₁ | | √ | √ | |
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| (A₀ ∨ A₁) ∧ ¬(A₀ ∨ A₁ ) | | | √ | √ |
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| A₁ ∨ (A₂ ∧ A₁) | | √ | √ | |
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| (A₀ ⟶ A₁) ⟶ (A₁ ⟶ A₀) | | √ | √ | |
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```
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**‘Parity check’**: Da [taut ⟹ (erf. und nicht wid.)] und [unerf ⟹ (wid. und nicht erf.)],
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sind nur
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```
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x √ √ x
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√ √ x x
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x x √ √
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```
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möglich. Wenn man etwas andere als diese 3 Fälle bekommt, hat man einen Fehler gemacht!
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- [x] weitere Fragen nach Aufzeichnungsende.
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## Nächste Woche ##
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- gerne auch bei den Montag + Dienstag Übungen reinschauen, weil wir alle versch. Themen besprechen werden.
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- Mittwoch Thema:
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- entweder rekursive Schemata / strukturelle Induktion; oder
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- Bsp. wie man coole Probleme mithilfe auf Erfüllbarkeitsprobleme in der Aussagenlogik kodieren kann.
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### TODOs (Studierende) ###
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- Folie 3 durchlesen;
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- weiter am ÜB 1 arbeiten : )
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