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notes/notes.tex

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@@ -117,6 +119,7 @@
     dvipsnames,
 }{xcolor}
 
+\usepackage{makecmds} % need for \provideenvironment
 \usepackage{inputenc}
 \usepackage{babel}
 \usepackage{geometry}
@@ -306,6 +309,9 @@
 \providecommand{\powerSet}{}
 \renewcommand{\powerSet}[1]{\mathop{\powerset}(#1)}
 
+\providecommand{\blockCases}{}
+\renewenvironment{blockCases}[2]{\left\{\begin{array}[#1]{#2}}{\end{array}\right.}
+
 \newcommand{\fieldK}[0]{\mathbb{K}}
 \newcommand{\reals}[0]{\mathbb{R}}
 \newcommand{\complex}[0]{\mathbb{C}}
@@ -716,13 +722,142 @@ Für diese Aufgabe seien gegeben:
     \end{beweis}
     \end{einzug}
 
-Es gibt einen weiteren Ansatz.
+Die Idee im vorherigen Ansatz kann man vereinfachen.
+Folgende Herangehensweise kommt von Tobias Habacker.
+Zunächst benötigen wir eine Einschätzung:
+
+\begin{prop}
+\setblocklabel{prop:0:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
+    Sei $\eps > 0$ beliebig.
+    Dann für alle $0 \leq \alpha \leq \beta < \infty$
+    gilt
+        $%
+            \sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
+            \leq
+                \max\{
+                    \eps^{-1}(\beta - \alpha),
+                    \eps
+                \}
+            \leq
+            \eps^{-1}(\beta - \alpha) + \eps
+        $.
+\end{prop}
+
+    \begin{einzug}[\mytab][\mytab]
+    \begin{beweis}
+        Falls $\sqrt{\beta} < \eps$, so gilt
+        $%
+            \max\{
+                \eps^{-1}(\beta - \alpha),
+                \eps
+            \} \geq \eps
+            \geq \sqrt{\beta}
+            \geq \sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
+        $, also gilt die Ungleichung.
+        Falls $\sqrt{\beta} \geq \eps$,
+        so gilt
+
+            \begin{maths}[mc]{rcl}
+                \sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
+                    &= &\frac{
+                            \beta - \alpha
+                        }{\sqrt{\beta} + \sqrt{\alpha}}\\
+                    &\leq
+                        &\frac{
+                            \beta - \alpha
+                        }{\sqrt{\beta}}\\
+                    &\leq &\eps^{-1})(\beta - \alpha)\\
+                    &\leq &\max\{
+                        \eps^{-1}(\beta - \alpha),
+                        \eps
+                    \}.\\
+            \end{maths}
+
+        Darum gilt die erste Ungleichung in allen Fällen.
+        Die zweite gilt, weil
+            für alle $r,s\in[0,\infty)$
+        entweder
+            $\max\{r,s\} = r \leq r + s$
+        oder
+            $\max\{r,s\} = s \leq r + s$
+        gilt.
+    \end{beweis}
+    \end{einzug}
+
+Dies können wir verwenden, um die Ober- und Untersummen von $\sqrt{w}$
+ohne Modifizierung von $w$ einzuschätzen.
+
+    \begin{einzug}[\mytab][\mytab]
+    \begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz II]
+        Sei $\eps > 0$ beliebig.
+        Für alle Zerlegungen
+            $Z=(x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ von $[a,b]$
+        beobachte man
+        unter den Definitionen
+            ${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$
+            und
+            ${\delta x_{i} \coloneq (x_{i+1}-x_{i})}$:
+
+            \begin{longmaths}[mc]{RCL}
+                O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w})
+                    &= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
+                        \left(
+                            \sqrt{\sup_{x \in I_{i}}w(x)}
+                            -\sqrt{\inf_{x \in I_{i}}w(x)}
+                        \right)
+                        \cdot
+                        \delta x_{i}\\
+                    &&\text{(analog zu Ansatz I)}\\
+                    &\leq &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
+                        \left(
+                            \eps^{-1} \cdot (
+                                \sup_{x \in I_{i}}w(x)
+                                -\inf_{x \in I_{i}}w(x)
+                            )
+                            + \eps
+                        \right)
+                        \cdot
+                        \delta x_{i}\\
+                    &&\text{wegen \Cref{prop:0:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}}\\
+                    &= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w))
+                        + \eps\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}(x_{i+1}-x_{i})\\
+                    &= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (x_{N} - x_{0})\\
+                    &= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a).\\
+            \end{longmaths}
+
+        Da dies für alle Zerlegungen, $Z$, von $[a,b]$ gilt
+        und $w$ Riemann-integrierbar ist, gilt
+            ${(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))_{Z} \longrightarrow 0}$.
+        Folglich
+
+            \begin{maths}[mc]{rcl}
+                0 &\leq &\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))\\
+                    &\leq &\limsup_{Z} (\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a))\\
+                    &= &\eps^{-1} \cdot \limsup_{Z}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a)\\
+                    &= &\eps^{-1} \cdot 0 + \eps \cdot (b - a).\\
+            \end{maths}
+
+        Da dies für alle $\eps > 0$ gilt, erhält man
+
+            \begin{maths}[mc]{rcccccl}
+                0 &\leq &\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))
+                    &\leq &\inf_{\eps}(\eps \cdot (b - a))
+                    &= &0.\\
+            \end{maths}
+
+        Also $\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w})) = 0$.
+        Also ${(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))_{Z} \longrightarrow 0}$.
+        Also ist $\sqrt{w}$ Riemann-integrierbar.
+    \end{beweis}
+    \end{einzug}
+
+Es gibt nun einen dritten Ansatz.
 Vorerst brauchen wir zwei kleine Resultate:
 
 \begin{prop}
 \setblocklabel{prop:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
     Sei ${u : [a,b] \to [0,\infty)}$.
-    Angenommne, $\sqrt{u}$ sei Riemann-integrierbar.
+    Angenommen, $\sqrt{u}$ sei Riemann-integrierbar.
     Aus der VL wissen wir, dass dann $u = \sqrt{u}^{2}$ ebenfalls Riemann-integrierbar ist.
     Des Weiteren gilt
         ${\displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{u} \dee x \leq (b - a)^{1/2}(\displaystyle\int_{a}^{b} u \dee x)^{1/2}}$.
@@ -763,7 +898,7 @@ Vorerst brauchen wir zwei kleine Resultate:
     \end{einzug}
 
 \def\beweislabel{satz:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
-Jetzt können wir die Idee hinter dem 2. Ansatz zum Beweis von \Cref{\beweislabel} erklären:
+Jetzt können wir die Idee hinter dem 3. Ansatz zum Beweis von \Cref{\beweislabel} erklären:
 
 \begin{idea}
     Wir müssen zeigen, dass
@@ -780,7 +915,7 @@ Jetzt können wir die Idee hinter dem 2. Ansatz zum Beweis von \Cref{\beweislabe
 \end{idea}
 
     \begin{einzug}[\mytab][\mytab]
-    \begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz II]
+    \begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz III]
         Sei $Z = (x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ eine beliebige Zerlegung von $[a,b]$.
         Setze außerdem
             ${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$
@@ -940,7 +1075,7 @@ Per Definition gilt $\norm{f}_{\infty} \in \reals$ gdw. $f$ beschränkt ist.
 
 \begin{schattierteboxdunn}
 \begin{claim}
-\setblocklabel{claim:1:ex:2.1:raj-analysis-ii-notes}
+\setblocklabel{claim:1:ex:3.1:raj-analysis-ii-notes}
     Angenommen,
     so dass $(f_{n})_{n\in\naturals}$
     genüge folgender Eigenschaft
@@ -987,7 +1122,7 @@ Per Definition gilt $\norm{f}_{\infty} \in \reals$ gdw. $f$ beschränkt ist.
         so dass
             ${\norm{f_{n} - f_{m}}_{\infty} < \frac{\eps}{3}}$
         für alle $m,n \geq N_{0}$.
-        Sei $m \geq N(\eps)$ beliebig.
+        Sei $m \geq N_{0}$ beliebig.
         Sei $x \in X$ beliebig.
         Per Konstruktion von $f$ existiert ein Index $n_{0}$,
         so dass
@@ -998,7 +1133,7 @@ Per Definition gilt $\norm{f}_{\infty} \in \reals$ gdw. $f$ beschränkt ist.
 
             \begin{maths}[mc]{rcccl}
                 \abs{f(x) - f_{m}(x)}
-                    &\leq &\abs{f(x) - f_{n}(x)} + \abs{f_{n}(x) - f_{n}(x)}
+                    &\leq &\abs{f(x) - f_{n}(x)} + \abs{f_{n}(x) - f_{m}(x)}
                     &< &\frac{\eps}{3} + \frac{\eps}{3},\\
             \end{maths}
 
@@ -1109,6 +1244,462 @@ Per Definition gilt $\norm{f}_{\infty} \in \reals$ gdw. $f$ beschränkt ist.
 
 %% ********** END OF FILE: body/woche4/A1.tex **********
 
+\setcounterafter{section}{2}
+
+%% ********************************************************************************
+%% FILE: body/woche4/A2.tex
+%% ********************************************************************************
+
+\let\oldsectionname\sectionname
+\def\sectionname{Aufgabe}
+\section[]{}
+\let\sectionname\oldsectionname
+\label{sec:6}
+
+\begin{schattierteboxdunn}
+\begin{claim}
+\setblocklabel{claim:1:ex:3.2:raj-analysis-ii-notes}
+    Seien $\alpha \in (0, \infty)$.
+    Dann
+        $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k^{-\alpha} < \infty$
+    gdw. $\alpha > 1$.
+\end{claim}
+\end{schattierteboxdunn}
+
+    \begin{beweis}
+        Sei $N\in\naturals$ mit $N > 1$.
+        Dann
+
+            \begin{maths}[mc]{rcl}
+            \eqtag[eq:1:\beweislabel]
+                \displaystyle\sum_{k=1}^{N}k^{-\alpha}
+                &= &k^{-N} + \displaystyle\sum_{k=1}^{N - 1}
+                    \displaystyle\int_{t=k}^{k + 1} k^{-\alpha} \dee t\\
+                &\geq &0 + \displaystyle\sum_{k=1}^{N - 1}
+                    \displaystyle\int_{t=k}^{k + 1} t^{-\alpha} \dee t
+                = \displaystyle\int_{t=1}^{N} t^{-\alpha} \dee t\\
+            \end{maths}
+
+        und
+
+            \begin{maths}[mc]{rcl}
+            \eqtag[eq:2:\beweislabel]
+                \displaystyle\sum_{k=1}^{N}k^{-\alpha}
+                &= &1 + \displaystyle\sum_{k=2}^{N} \displaystyle\int_{t=k-1}^{k} k^{-\alpha} \dee t\\
+                &\leq &1 + \displaystyle\sum_{k=2}^{N}
+                    \displaystyle\int_{t=k-1}^{k} t^{-\alpha} \dee t\\
+                &= &1 + \displaystyle\int_{t=1}^{N} t^{-\alpha} \dee t.\\
+            \end{maths}
+
+        Laut Skript (siehe \cite[\S{}11.3,~Bsp.~(c)]{pogorzelskiVLSkript})
+        wissen wir nun, dass
+
+            \begin{maths}[mc]{rcl}
+            \eqtag[eq:3:\beweislabel]
+                \displaystyle\int_{t=1}^{\infty} t^{-\alpha} \dee t
+                    &= &\begin{blockCases}{mc}{rcl}
+                            +\infty &: &\alpha \leq 1\\
+                            \frac{1}{1-\alpha} &: &\alpha > 1\\
+                        \end{blockCases}.\\
+            \end{maths}
+
+        Folglich gelten
+
+            \begin{maths}[mc]{rcl}
+                \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k^{-\alpha}
+                &= &\displaystyle\limsup_{N \to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}k^{-\alpha}\\
+                &\eqcrefoverset{eq:2:\beweislabel}{\leq}
+                    &\displaystyle\limsup_{N \to \infty}\displaystyle\int_{t=1}^{N} t^{-\alpha} \dee t + 1\\
+                &= &\displaystyle\displaystyle\int_{t=1}^{\infty} t^{-\alpha} \dee t + 1\\
+                &\eqcrefoverset{eq:3:\beweislabel}{=}
+                    &\frac{1}{1-\alpha} + 1
+                < \infty,\\
+            \end{maths}
+
+        falls $\alpha > 1$, und
+
+            \begin{maths}[mc]{rcl}
+                \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k^{-\alpha}
+                &= &\displaystyle\limsup_{N \to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}k^{-\alpha}\\
+                &\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{\geq}
+                    &\displaystyle\limsup_{N \to \infty}\displaystyle\int_{t=1}^{N} t^{-\alpha} \dee t\\
+                &= &\displaystyle\int_{t=1}^{\infty} t^{-\alpha} \dee t\\
+                &\eqcrefoverset{eq:3:\beweislabel}{=}
+                    &+\infty,\\
+            \end{maths}
+
+        falls $0 < \alpha \leq 1$.
+        Darum gilt die Behauptung.
+    \end{beweis}
+
+%% ********** END OF FILE: body/woche4/A2.tex **********
+
+\setcounterafter{section}{3}
+
+%% ********************************************************************************
+%% FILE: body/woche4/A3.tex
+%% ********************************************************************************
+
+\let\oldsectionname\sectionname
+\def\sectionname{Aufgabe}
+\section[]{}
+\let\sectionname\oldsectionname
+\label{sec:7}
+
+Für diese Aufgaben brauchen wir zunächst einmal Lemma, um unsere Arbeit zu erleichtern.
+
+\begin{lemm}
+\setblocklabel{lemm:uneigentlich:ex:3.3:raj-analysis-ii-notes}
+    Sei $a\in\reals$ und sei ${h:[a,\infty)\to\reals}$ eine Funktion
+    mit ${h(t) \longrightarrow 0}$ für ${t \longrightarrow +\infty}$.
+    Sei außerdem
+        $(T_{n})_{n} \subseteq [a,\infty)$
+    eine monoton wachsende Folge mit ${T_{n} \longrightarrow \infty}$
+    und so,
+    dass $(T_{n+1}-T_{n})_{n}$ beschränkt ist.
+    Dann ist
+        ${\displaystyle\int_{a}^{\infty} h \dee t}$
+    konvergent
+    gdw.
+        $(\displaystyle\int_{a}^{T_{n}} h \dee t)_{n}$
+    konvergent ist.
+\end{lemm}
+
+    \begin{einzug}[\mytab][\mytab]
+    \begin{beweis}
+        Offensichtlich gilt die \enclosedquote{nur dann wenn}-Richtung.
+        Für die \enclosedquote{wenn}-Richtung,
+        sei angenommen, $(\displaystyle\int_{a}^{T_{n}} h \dee t)_{n}$ konvergiert
+        mit Grenzwert $I \in \reals$.
+        Setze $C \in (0,\infty)$ mit $\sup_{n}T_{n+1}-T_{n} \leq C$.
+
+        Sei $\eps > 0$.
+        Sei $N$ ein genügend großer Index
+        mit $\abs{\int_{a}^{T_{n}} h \dee t - I} < \frac{\eps}{2}$
+        für alle $n \geq N$.
+        Da $f$ gegen $+\infty$ verschwindend ist,
+        existiert ein $\tilde{T}\in[a,\infty)$,
+        so dass $\abs{f(\cdot)} \leq \frac{\eps}{2C}$
+        auf $[\tilde{T},\infty]$.
+        Sei nun $T \in [\max\{T_{N},\tilde{T}\},\infty)$ beliebig.
+        Da $T \geq T_{N}$ und ${(T_{n})_{n}\longrightarrow +\infty}$ monoton,
+        existiert ein $n\geq N$ so, dass $T \in [T_{n},T_{n+1}]$.
+        Da $n \geq N$ und $[T_{n},T]\subseteq[\tilde{T},\infty)$
+        erhält man die Abschätzung
+
+            \begin{maths}[mc]{rcl}
+                \absLong{
+                    \displaystyle\int_{a}^{T} h(t) \dee t
+                    -
+                    I
+                }
+                &\leq
+                    &\absLong{
+                        \displaystyle\int_{a}^{T} h(t) \dee t
+                        -
+                        \displaystyle\int_{a}^{T_{n}} h(t) \dee t
+                    }
+                    + \absLong{
+                        \displaystyle\int_{a}^{T_{n}} h(t) \dee t
+                        -
+                        I
+                    }\\
+                &< &\absLong{
+                        \displaystyle\int_{T_{n}}^{T} h(t) \dee t
+                    }
+                    + \frac{\eps}{2}\\
+                &< &\displaystyle\int_{T_{n}}^{T}
+                        \underbrace{
+                            \abs{h(t)}
+                        }_{\leq \frac{\eps}{2C}}
+                    \dee t
+                    + \frac{\eps}{2}\\
+                &\leq &(T-T_{n})\frac{\eps}{2C}
+                    + \frac{\eps}{2}\\
+                &\leq &(T_{n+1}-T_{n})\frac{\eps}{2C}
+                    + \frac{\eps}{2}\\
+                &\leq &C\frac{\eps}{2C}
+                    + \frac{\eps}{2}
+                =\eps.\\
+            \end{maths}
+
+        Darum gilt für genügend großes
+            $T \in [a,\infty)$
+        (in Abhängigkeit von $\eps$),
+        dass $\abs{
+                \displaystyle\int_{a}^{T} h(t) \dee t
+                -
+                I
+            } < \eps$.
+        Da dies für alle $\eps > 0$ gilt
+        ist
+            $(\displaystyle\int_{a}^{T} h \dee t)_{T\in[a,\infty)}$
+            konvergent
+        (mit Grenzwert $I$).
+        Also konvergiert $\displaystyle\int_{a}^{\infty} h \dee t$.
+    \end{beweis}
+    \end{einzug}
+
+\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
+    %% A3(a)
+    \item
+        \begin{schattierteboxdunn}
+        \begin{claim}
+        \setblocklabel{claim:1:ex:3.3a:raj-analysis-ii-notes}
+            Sei $f:\reals\ohne\{0\}\to\reals$
+            definiert durch $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$.
+            Dann konvergiert
+                $\displaystyle\int_{x=1}^{\infty} f \dee x$.
+        \end{claim}
+        \end{schattierteboxdunn}
+
+        \begin{beweis}
+            Für $c \in (0, \infty)$ beobachte, dass
+
+                \begin{maths}[mc]{rcl}
+                \eqtag[eq:1:\beweislabel]
+                    \absLong{
+                        \displaystyle\int_{c}^{c + 2\pi}
+                        \frac{\sin(x)}{x}
+                        \dee x
+                    }
+                    &= &\absLong{
+                            \displaystyle\int_{c}^{c + 2\pi}
+                                \frac{\sin(x)}{x}
+                            \dee x
+                            -
+                            \displaystyle\int_{c}^{c + 2\pi}
+                                \frac{\sin(x)}{c}
+                            \dee x
+                        }\\
+                    &&\text{da $\int_{c}^{c + 2\pi}\sin(x)\dee x = [-\cos(x)]_{c}^{c+2\pi}=0$}\\
+                    &= &\absLong{
+                        \displaystyle\int_{c}^{c + 2\pi}
+                            \sin(x)\cdot(\frac{1}{x} - \frac{1}{c})
+                        \dee x
+                    }\\
+                    &\leq &\displaystyle\int_{c}^{c + 2\pi}
+                            \underbrace{
+                                \abs{\sin(x)}
+                            }_{\leq 1}
+                            \underbrace{
+                                \abs{\frac{1}{x} - \frac{1}{c}}
+                            }_{\substack{
+                                \leq \frac{1}{c} - \frac{1}{c + 2\pi}\\
+                                =    \frac{2\pi}{c(c + 2\pi)}
+                            }}
+                        \dee x\\
+                    &\leq &2\pi \cdot \frac{2\pi}{c(c + 2\pi)}
+                    \leq (\frac{2\pi}{c})^{2}.\\
+                \end{maths}
+
+            Da $f$ offensichtlich gegen $+\infty$ verschwindend ist,
+            laut \Cref{lemm:uneigentlich:ex:3.3:raj-analysis-ii-notes}
+            reicht es aus zu zeigen,
+            dass
+                $(\int_{1}^{2\pi n}f\dee x)_{n\in\naturals}$ konvergiert.
+
+            Sei hiefür $\eps > 0$ beliebig.
+            Da $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}<\infty$, wissen wir,
+            dass ein $N\in\naturals$ existiert
+            so dass
+                $\abs{
+                    \sum_{k=1}^{n_{1}} \frac{1}{k^{2}}
+                    -
+                    \sum_{k=1}^{n_{2}} \frac{1}{k^{2}}
+                } < \eps$
+            für alle $n_{1},n_{2} \geq N$.
+            Für $n_{1},n_{2} \geq N$ berechnen wir daher:
+
+                \begin{maths}[mc]{rcl}
+                    \absLong{
+                        \displaystyle\int_{1}^{2\pi n_{1}} f \dee x
+                        -
+                        \displaystyle\int_{1}^{2\pi n_{2}} f \dee x
+                    }
+                    &=
+                        &\absLong{
+                            \displaystyle\int_{2\pi \min\{n_{1},n_{2}\}}^{2\pi \max\{n_{1},n_{2}\}} f \dee x
+                        }\\
+                    &=
+                        &\absLong{
+                            \displaystyle\sum_{k=\min\{n_{1},n_{2}\}}^{\max\{n_{1},n_{2}\}-1}
+                            \displaystyle\int_{2\pi k}^{2\pi (k+1)} f \dee x
+                        }\\
+                    &=
+                        &\displaystyle\sum_{k=\min\{n_{1},n_{2}\}}^{\max\{n_{1},n_{2}\}-1}
+                        \absLong{
+                            \displaystyle\int_{2\pi k}^{2\pi (k+1)} f \dee x
+                        }\\
+                    &\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{\leq}
+                        &\displaystyle\sum_{k=\min\{n_{1},n_{2}\}}^{\max\{n_{1},n_{2}\}-1}
+                            (\frac{2\pi}{2\pi k})^{2}\\
+                    &=
+                        &\absLong{
+                            \displaystyle\sum_{1}^{n_{1}} \frac{1}{k^{2}}
+                            -
+                            \displaystyle\sum_{1}^{n_{2}} \frac{1}{k^{2}}
+                        }
+                    < \eps.\\
+                \end{maths}
+
+            Es folgt, dass
+                $(\int_{1}^{2\pi n}f\dee x)_{n\in\naturals}\subseteq\reals$
+            eine Cauchy-Folge ist und wegen Vollständigkeit von $\reals$ konvergent.
+            Laut \Cref{lemm:uneigentlich:ex:3.3:raj-analysis-ii-notes}
+            existiert damit $\int_{1}^{\infty} f \dee x$.
+        \end{beweis}
+
+    %% A3(b)
+    \item
+        \begin{schattierteboxdunn}
+        \begin{claim}
+        \setblocklabel{claim:1:ex:3.3b:raj-analysis-ii-notes}
+            $\int_{x=1}^{\infty} \abs{\frac{\sin(x)}{x}} \dee x$
+            divergiert gegen $+\infty$.
+        \end{claim}
+        \end{schattierteboxdunn}
+
+        \begin{beweis}
+        \end{beweis}
+
+    %% A3(c)
+    \item
+        \begin{schattierteboxdunn}
+        \begin{claim}
+        \setblocklabel{claim:1:ex:3.3c:raj-analysis-ii-notes}
+            Sei $g:\reals\ohne\{0\}\to\reals$
+            definiert durch $g(x)=\frac{\sin(x)}{x}$.
+            Dann divergiert
+                $\displaystyle\int_{x=1}^{\infty} g \dee x$
+            gegen $+\infty$.
+        \end{claim}
+        \end{schattierteboxdunn}
+
+        Um dies zu beweisen brauchen wir ein kleines Zwischenresultat.
+
+        \begin{lemm}
+        \setblocklabel{lemm:1:ex:3.3c:raj-analysis-ii-notes}
+            Für $k, c \in [0, \infty)$
+            mit $k \geq 1$
+            ist
+                ${I_{k,c} \coloneq \displaystyle\int_{x=1}^{\infty} \frac{\sin(kx - c)}{x} \dee x}$
+            konvergent.
+        \end{lemm}
+
+            \begin{einzug}[\mytab][\mytab]
+            \begin{beweis}
+                Schreibe
+                    ${I_{k,c}(T) \coloneq \displaystyle\int_{x=1}^{T} \frac{\sin(kx - c)}{x} \dee x}$
+                für $T \in [1, \infty)$.
+                Wegen Aufgabe 3(a) wissen wir bereits,
+                dass
+                    ${I_{1,0}(T) \longrightarrow I_{1,0} \in \reals}$
+                für ${T \longrightarrow +\infty}$.
+                Für $T \in [1, \infty)$ gilt
+
+                    \begin{maths}[mc]{rcl}
+                        I_{k,c}(T)
+                        &=
+                            &\displaystyle\int_{1}^{T}
+                                \frac{\sin(kx - c)}{kx-c + c}
+                                \cdot u^{\prime}
+                            \dee u\\
+                        &&\text{mit $u(x) \coloneq kx - c$}\\
+                        &=
+                            &\displaystyle\int_{k + c}^{kT + c}
+                                \frac{\sin(u)}{u + c}
+                            \dee u\\
+                        &=
+                            &\displaystyle\int_{1}^{kT + c}
+                                \frac{\sin(u)}{u}
+                            \dee u
+                            -\underbrace{
+                                \displaystyle\int_{1}^{kT + c}
+                                    \sin(u)\cdot(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+c})
+                                \dee u
+                            }_{\eqcolon D_{c}(kT +  c)}\\
+                        &&-\underbrace{
+                                \displaystyle\int_{1}^{k + c}
+                                    \frac{\sin(u)}{u + c}
+                                \dee u
+                            }_{\eqcolon E_{k,c}}\\
+                        &= &I_{1,0}(kT +  c) + D_{c}(kT +  c) + E_{k,c}.\\
+                    \end{maths}
+
+                Wegen Stetigkeit von ${[1,k+c] \ni x \mapsto \frac{\sin(u)}{u + c}}$,
+                ist diese Funktion Riemann-integrierbar.
+                Also ist $E_{k,c} \in \reals$ wohldefiniert.
+                Wie oben wissen wir, dass
+                    ${T \longrightarrow +\infty}$
+                    $\Rightarrow$
+                    ${kT + c \longrightarrow +\infty}$
+                    $\Rightarrow$
+                    ${I_{1,0}(kT+c) \longrightarrow I_{1,0} \in \reals}$.
+                Darum, um die Konvergenz von $I_{k,c}$ zu zeigen,
+                müssen wir lediglich die Konvergenz von
+                    $(D_{c}(kT + c))_{T\in[1,\infty)}$
+                zeigen.
+
+                Nebenrechnung:
+                    $\abs{\sin(u)\cdot(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+c})}
+                    =\abs{\sin(u)}\cdot\frac{c}{u(u+c)}
+                    \leq \frac{c}{u^{2}}$
+                für $u\in[1,\infty)$.
+                Da $\int_{u=1}^{\infty} \frac{c}{u^{2}} \dee u$ existiert,
+                ist somit der Bertrag der stetigen Funktion
+                    ${[1,\infty)\ni u \mapsto \sin(u)\cdot(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+c})}$
+                uneigentlich Riemann-integrierbar.
+                Folglich ist diese Funktion (ohne Betrag)
+                uneigentlich Riemann-integrierbar.
+                Insbesondere ist $(D_{c}(T))_{T\in[1,\infty)}$
+                und somit auch $(D_{c}(kT + c))_{T\in[1,\infty)}$
+                konvergent.
+
+                Darum konvergiert $(I_{k,c}(T))_{T\in[1,\infty)}$.
+                \Dh $\displaystyle\int_{x=1}^{\infty} \frac{\sin(kx - c)}{x} \dee x$ existiert.
+            \end{beweis}
+            \end{einzug}
+
+        \def\beweislabel{claim:1:ex:3.3c:raj-analysis-ii-notes}
+        Jetzt können wir mit dem Beweis von \Cref{\beweislabel} fortsetzen.
+
+        \begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}]
+            Sei $T \in [1,\infty)$.
+            Schreibe ${J(T) \coloneq \int_{x=1}^{T} g \dee x}$.
+            Für $x\in[1,\infty)$ gilt
+                $%
+                    g(x) = \frac{\sin^{2}(x)}{x}
+                    = \frac{1}{2}(\frac{1}{x} - \frac{\cos(2x)}{x})
+                    = \frac{1}{2}(\frac{1}{x} - \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - 2x)}{x})
+                    = \frac{1}{2}(\frac{1}{x} + \frac{\sin(2x - \frac{\pi}{2})}{x})
+                    = \frac{1}{2}(\frac{1}{x} + h_{2,\frac{\pi}{2}}(x))
+                $.
+            Darum gilt
+
+            \begin{maths}[mc]{rcl}
+                J(T)
+                &=
+                    &\frac{1}{2}
+                    \displaystyle\int_{x=1}^{T}\frac{1}{x}\dee x
+                    +
+                    \frac{1}{2}
+                    \displaystyle\int_{x=1}^{T}h_{2,\frac{\pi}{2}}(x) \dee x\\
+                &= &\frac{1}{2}\log(T) - \frac{1}{2}I_{2,\frac{\pi}{2}}(T).\\
+            \end{maths}
+
+            Da
+                ${(I_{2,\frac{\pi}{2}}(T))_{T\in[1,\infty)} \longrightarrow I_{2,\frac{\pi}{2}} \in \reals}$
+            (siehe \Cref{lemm:1:ex:3.3c:raj-analysis-ii-notes})
+            und
+                ${(\log(T))_{T\in[1,\infty)} \longrightarrow +\infty}$,
+            folgt ${(J(T))_{T\in[1,\infty)} \longrightarrow +\infty}$.
+            \Dh $\displaystyle\int_{x=1}^{\infty} g \dee x = +\infty$.
+        \end{beweis}
+\end{enumerate}
+
+%% ********** END OF FILE: body/woche4/A3.tex **********
+
 \setcounterafter{section}{4}
 
 %% ********************************************************************************
@@ -1119,7 +1710,7 @@ Per Definition gilt $\norm{f}_{\infty} \in \reals$ gdw. $f$ beschränkt ist.
 \def\sectionname{Aufgabe}
 \section[]{}
 \let\sectionname\oldsectionname
-\label{sec:6}
+\label{sec:8}
 
 \begin{enumerate}{\bfseries (a)}
 \setcounterafter{enumi}{2}
@@ -1355,7 +1946,7 @@ Otto Forster.
 \newblock {Grundkurs Mathematik}. Springer Spektrum, Wiesbaden, 12 edition,
   2016.
 
-\bibitem[Pog 2]{pogorzelski}
+\bibitem[Pog 2]{pogorzelskiVLSkript}
 Felix Pogorzelski.
 \newblock {Vorlesungsskript: Analysis I--II}, 2021--2.
 \newblock {basierend auf dem Skript von Daniel Lenz 2013--14 + 2020--21}.

protocol/README.md

@@ -6,7 +6,6 @@ Inhaltsverzeichnis
 - [Vorlesungswoche 2](./woche2.md)
 - [Vorlesungswoche 3](./woche3.md)
 - [Vorlesungswoche 4](./woche4.md)
-<!--
 - [Vorlesungswoche 5](./woche5.md)
 - [Vorlesungswoche 6](./woche6.md)
 - [Vorlesungswoche 7](./woche7.md)
@@ -17,4 +16,6 @@ Inhaltsverzeichnis
 - [Vorlesungswoche 12](./woche12.md)
 - [Vorlesungswoche 13](./woche13.md)
 - [Vorlesungswoche 14](./woche14.md)
+<!--
+- [Vorlesungswoche 14](./woche15.md)
 -->

protocol/woche10.md

@@ -0,0 +1,18 @@
+# Vorlesungswoche 10 (6.–12. Juni 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [x] Rückgabe der ÜB
+- [x] ÜB9 / Vorrechnen
+- [x] Besprechung von Themen in ÜB10
+
+## Nächste Woche ##
+
+- Übungsblatt 10 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+- Kapitel 13 verschiedene Konzepte von Stetigkeit + Differenzierbarkeit erlernen
+  - Implikationen (und wenn sie strikt sind!) verinnerlichen
+  - auf „Überschneidungen“ achten
+- ÜB10 bis Frist abgeben.

protocol/woche11.md

@@ -0,0 +1,16 @@
+# Vorlesungswoche 11 (13.–19. Juni 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [x] Rückgabe der ÜB
+- [x] ÜB10 / Vorrechnen
+- [x] Besprechung von Themen in ÜB11
+
+## Nächste Woche ##
+
+- Übungsblatt 11 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+- Kapitel 13 verschiedene zusammenfassen.
+- ÜB11 bis Frist abgeben.

protocol/woche12.md

@@ -0,0 +1,7 @@
+# Vorlesungswoche 11 (20.–26. Juni 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [x] Rückgabe der ÜB
+- [x] ÜB11 / Vorrechnen
+- [x] Besprechung von Themen in ÜB12

protocol/woche13.md

@@ -0,0 +1,6 @@
+# Vorlesungswoche 11 (27. Juni – 3. Juli 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [x] Rückgabe der ÜB
+- [x] ÜB12 / Vorrechnen

protocol/woche14.md

@@ -0,0 +1,7 @@
+# Vorlesungswoche 11 (4.–10. Juli 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [ ] Rückgabe der ÜB
+- [ ] ÜB13 / Vorrechnen
+- [ ] Besprechung von verwandten Themen: lokale Umkehrbarkeit, Satz der impl. Funktion, usw.

protocol/woche4.md

@@ -2,10 +2,17 @@
 
 ## Agenda ##
 
-- [ ] Organisatorisches / Rückgabe der ÜB
-- [ ] Aufgaben: ÜB3
+- [x] Organisatorisches / Rückgabe der ÜB
+- [x] Aufgaben: ÜB3
   - siehe auch [./notes/notes.pdf](../notes/notes.pdf) für A1 + 4.
-- [ ] Fragen zu ÜB4
+  - A3 (a) geht auch einfacher,
+    wenn man `∫ sin(x)/x dx` von `x=0` bis `x=+∞` untersucht.
+    In einem anderen Modul wurde dieses Integral explizit bestimmt.
+    Aus der Endlichkeit dieses Integrals,
+    sowie der Riemann-Integrierbarkeit von dem Integral von `0` bis `1`
+    (man braucht nur die Stetigkeit einer »passenden« Fortsetzung der Funktion),
+    folgt die uneigentliche Riemann-Integrierbarkeit von dem Integral von `1` bis `+∞`.
+- [x] Fragen zu ÜB4
 
 ## Nächste Woche ##
 

protocol/woche5.md

@@ -0,0 +1,26 @@
+# Vorlesungswoche 5 (2.–8. Mai 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [x] Rückgabe der ÜB
+- [x] Umgang mit Kapitel 12
+  - [x] Begriffe für metr. Räume
+  - [x] Verallg. zu top. Räumen
+  - [x] eine Metrik vs. „die“ Metrik
+  - [x] Umgebungen und Stetigkeit
+- [x] Aufgaben: ÜB4
+  - [x] Abschluss der offenen Kugel ⊆ die abgeschlossene Kugel; und nicht immer =!
+- [x] Fragen zu ÜB5
+
+## Nächste Woche ##
+
+- Übungsblatt 5 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+- Kapitel 12 durchlesen. Tipps:
+  - Zusammenfassung für sich erstellen.
+  - **Achtung:** Beim Thema Topologie gibt es viele Überschneidungen
+    und viel Potential für Verwechselung (z. B. „falsche Freunde“)
+  - Themen sortieren und unterordnen, damit alles leichter einzuordnen ist und nicht überwältigend.
+- ÜB5 bis Frist abgeben.

protocol/woche6.md

@@ -0,0 +1,24 @@
+# Vorlesungswoche 6 (9.–15. Mai 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [ ] Rückgabe der ÜB
+- [ ] Theorie wiederholen
+  - [ ] Axiome einer Metrik
+  - [ ] Stetigkeit einer Fkt zw. zwei metrischen Räumen
+    - in einem gegebenen Punkt
+    - überall (vgl. [**VL, Lemma 25 + Thm 57, Seite 185**])
+- [ ] ÜB5 / Vorrechnen
+- [ ] Besprechung von Themen in ÜB6
+  - [ ] das Innere, der Abschluss, der Rand
+  - [ ] Produktopologie
+  - [ ] Stetigkeit bzgl. was? — zugrunde liegende Konvergenzbegriff der Topologie vs. Metrik.
+
+## Nächste Woche ##
+
+- Übungsblatt 6 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+- Kapitel 12 durchlesen.
+- ÜB6 bis Frist abgeben.

protocol/woche7.md

@@ -0,0 +1,21 @@
+# Vorlesungswoche 7 (16.–22. Mai 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [x] Rückgabe der ÜB
+- [x] Theorie wiederholen
+  - [x] Stetigkeit: Komposition
+  - [x] Inneres, Abschluss, Rand von Mengen/Kugeln
+  - [x] Kompaktheit
+  - [ ] Produkttopologie
+- [ ] ÜB6 / Vorrechnen
+- [ ] Besprechung von Themen in ÜB7
+
+## Nächste Woche ##
+
+- Übungsblatt 7 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+- Kapitel 12 nochmals drüber gehen; zusammenfassen; ggf. Checkliste von „TODOs“ erstellen.
+- ÜB7 bis Frist abgeben.

protocol/woche8.md

@@ -0,0 +1,21 @@
+# Vorlesungswoche 8 (23.–29. Mai 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [x] Rückgabe der ÜB
+- [x] ÜB7 / Vorrechnen
+- [x] Besprechung von Themen in ÜB8
+  - zusammenhängend
+  - wegzusammenhängend
+  - Konstruktion von stetigen Fkt
+  - Hinweise zu Aufgaben.
+  - Literatur zu A4.
+
+## Nächste Woche ##
+
+- Übungsblatt 8 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+- Kapitel 13 anfangen; Hauptbegriffe und -resultate auflisten und durchgehen.
+- ÜB8 bis Frist abgeben.

protocol/woche9.md

@@ -0,0 +1,18 @@
+# Vorlesungswoche 9 (30. Mai – 5. Juni 2022) #
+
+## Agenda ##
+
+- [ ] Rückgabe der ÜB
+- [x] ÜB8 / Vorrechnen
+- [x] Besprechung von Themen in ÜB9
+
+## Nächste Woche ##
+
+- Übungsblatt 9 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
+
+### TODOs (Studierende) ###
+
+- Kapitel 13 verschiedene Konzepte von Stetigkeit + Differenzierbarkeit erlernen
+  - Implikationen (und wenn sie strikt sind!) verinnerlichen
+  - auf „Überschneidungen“ achten
+- ÜB9 bis Frist abgeben.