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master > master: Woche 13

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  1. 34
      notes/berechnungen_wk13.md
  2. 132
      notes/selbstkontrollenaufgaben.md
  3. 10
      protocol/woche13/README.md

34
notes/berechnungen_wk13.md

@ -1 +1,35 @@
# Woche 13 #
ℤ/10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x √ x √ x x x √ x √
invertierbare Elemente: {1, 3, 7, 9}.
k invertierbar in ℤ/n
⟺ ggT(k, n) = 1
⟺ k, n teilerfremd
TODO: Inverse von Zahl modulo p
ℤ/2
0 1
- 1
ℤ/3
0 1 2
- 1 2
ℤ/5
0 1 2 3 4
- 1 3 2 4
ℤ/7
0 1 2 3 4 5 6
- 1 4 5 2 3 6

132
notes/selbstkontrollenaufgaben.md

@ -59,3 +59,135 @@ In jedem der Aufgaben (ohne sie die Beweise komplett auszuführen), bestimme,
Zeige, dass ρ genau dann einen Eigenvektor mit Eigenwert λ besitzt, wenn dim(Kern(ψ - λ)) > 0.
(_Hier bezeichnet ψ - λ die lineare Abbildung U ⟶ U, x ⟼ ψ(x) - λx._)
# Lösungen #
## Verschiedene Fragen über Dimension ##
1. 0
2. 0, 1, 2, 3, 4
3. .
- U + V = { u+v | u ∈ U, v ∈ V }
- U ⊆ U + V, ⟹ dim(U) ≤ dim(U + V)
{u1, u2, ..., u_n} eine Basis für U
{v1, v2, ..., v_m} eine Basis für V
{u1, u2, ..., u_n, v_i1, ..., v_ir} eine Basis für U + V
- V ⊆ U + V, ⟹ dim(V) ≤ dim(U + V)
- U + V ⊆ W, ⟹ dim(U + V) ≤ dim(W)
max{dim(U), dim(V)} ≤ dim(U + V) ≤ dim(W)
4. dim(U + V) = dim(U) + dim(V) – dim(U ∩ V)
5. 4,5,6. Dimensionsformel anwenden:
dim(U ∩ V) = dim(U) + dim(V) - dim(U + V) = 6 + 8 - dim(U + V)
max{dim(U), dim(V)} ≤ dim(U + V) ≤ dim(W)
⟹ 8 ≤ dim(U + V) ≤ 10
⟹ 6 + 8 - 10 ≤ 6 + 8 - dim(U + V) ≤ 6 + 8 - 8
⟹ 4 ≤ dim(U ∩ V) ≤ 6
6. für ϕ : U ⟶ V linear gilt dim(U) = dim(Kern(ϕ)) + dim(Bild(ϕ))
7. für ρ : U ⟶ V linear, injektiv dim(U) ≤ dim(V)
8. für ψ : U ⟶ V linear, definiert man Rang(ψ) = dim(Bild(ψ))
## Verschiedene Fragen über lineare Unterräume ##
1. W sei ein Vektorraum über einem Körper K. Sei U ⊆ W eine Teilmenge
- NL: U ≠ Ø
- ADD: U unter Addition stabil
- SKM: U unter Skalarmultiplikation stabil
oder
- NL + LK: U unter linearen Kombinationen stabil:
Seien u1, u2 ∈ U, und seien α1, α2 ∈ K.
ZU ZEIGEN: α1·u1 + α2·u2 ∈ U.
...
...
Also gilt α1·u1 + α2·u2 ∈ U.
2. U × V:
- Elemente: (u,v), u ∈ U, v ∈ V
- Vektoraddition: (u,v) + (u',v') = (u+u', v+v')
- Skalarmultiplikation: α·(u, v) = (α·u, α·v)
3. Sei R ⊆ U × V. Dann R linearer Untervektorraum ⟺
- NL: R ≠ Ø
- LK:
Seien (u1,v1), (u2,v2) ∈ R, und seien α1, α2 ∈ K.
ZU ZEIGEN: α1·(u1,v1) + α2·(u2,v2) ∈ R,
m. a. W. (α1·u1 + α2·u2, α1·v1 + α2·v2) ∈ R ist zu zeigen.
...
...
Also gilt (α1·u1 + α2·u2, α1·v1 + α2·v2) ∈ R.
## Verschiedene Fragen über Basis ##
1. dim(·) = 5, eine Basis ist: 1, x, x^2, x^3, x^4
2. eine Basis bilden bspw. { E_ij : 1≤i≤4, 1≤j≤3 }, also die 12 Matrizen
( 1 0 0 0 ) ( 0 1 0 0 ) ( 0 0 0 0 )
( 0 0 0 0 ), ( 0 0 0 0 ), ... ( 0 0 0 0 ).
( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 1 )
3. m·n
4. A sei die Matrix.
- A —> Zeilenstufenform (am besten normalisiert, aber muss nicht sein)
- anhand Zeilenstufenform Bestimme freie Unbekannten und schreibe Lösung für unfreie Unbekannten in Bezug auf freie auf.
- 0-1 Trick (setze alle freie auf 0 und jeweils eine auf 1 (oder ≠ 0) ==> bestimme Lösung)
- ---> diese bilden eine Basis des Lösungsraums, das heißt von {x | Ax=0}
- **Zur Kontrolle:** prüfen, dass Ae = 0 für alle e in Basis
- **Beachte:** dim(Kern(A)) = Größe dieser Basis.
5. A sei die Matrix.
- A —> Zeilenstufenform
- merke die Stellen wo Treppen sind ---> entsprechende Spalten in A bilden eine Basis
- **Beachte:** dim(Bild(A)) = Größe dieser Basis
- **Zur Kontrolle:** prüfen, dass die Dimensformel für lineare Abbildungen gilt,
d. h. dim(Kern(A)) + dim(Bild(A)) = dim(Inputvektorraum) = Anzahl der Spalten von A insgesamt
## Verschiedene Fragen über axiomatische Relationstypen ##
Testet selbst, dass ihr die Axiome kennt (oder wisst, wo im Skript sie zu finden sind)
und wie ihr im Beweis mit ihnen umgeht / wie ihr die für eine gegeben konkrete Relation zeigt! 🙂
## Verschiedene Aspekte von Beweisen ##
### Aufgabe 1. ###
Zu zeigen: (1) U ∩ V ≠ Ø,
und (2) für u1, u2 ∈ U ∩ V und a, b ∈ K
gilt a·u1 + b·u2 ∈ U ∩ V
Zu (1):
...
...
...
also ist .... in U ∩ V
also ist U ∩ V nicht leer.
Zu (2): seien u1, u2 ∈ U ∩ V und a, b ∈ K.
Dann
...
...
...
a·u1 + b·u2 ∈ U ∩ V.
### Aufgabe 2. ###
(⟹) Sei angenommen, .... [1. Aussage]. Zu zeigen: .... [2. Aussage].
...
...
...
Also gilt [2. Aussage].
(⟹) Sei angenommen, .... [2. Aussage]. Zu zeigen: .... [1. Aussage].
...
...
...
Also gilt [1. Aussage].

10
protocol/woche13/README.md

@ -2,10 +2,13 @@
## Ablauf ##
- ( ) Organisatorische Fragen
- () Organisatorische Fragen
- Warten noch Leute auf Bewertung für die Zulassung?
- [**zusatz.pdf**](../../docs/zusatz.pdf)
- ( ) Fragen für die Klausurvorbereitung. Ein paar Tipps:
- (√) Fragen für die Klausurvorbereitung.
- Berechnung vom Inversen modulo n (n prim, aber auch mit n nicht prim).
- Berechnung im LGS über einem endlichen Körper (Zusatzblatt > Aufgabe 2·2 besprochen).
- (√) Ein paar Tipps:
- Gebrauch von Ergebnissen aus dem Skript:
Man braucht nur das Resultat zu erwähnen, z. B.
@ -19,4 +22,5 @@
um die Existenz eines Isomorphismus zu zeigen.
- **octave**, **python**, o. Ä. für Berechnungen mit Matrizen.
- ( ) Fragen zur Selbstkontrolle: [/notes/selbstkontrollenaufgaben.md](../../notes/selbstkontrollenaufgaben.md)
- (√) Fragen zur Selbstkontrolle: [/notes/selbstkontrollenaufgaben.md](../../notes/selbstkontrollenaufgaben.md)
- alles bis auf Axiome für Äquivalenzrelationen/Ordnungsrelationen zusammen besprochen.

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