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@ -1 +1,35 @@
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# Woche 13 #
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ℤ/10
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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x √ x √ x x x √ x √
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invertierbare Elemente: {1, 3, 7, 9}.
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k invertierbar in ℤ/n
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⟺ ggT(k, n) = 1
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⟺ k, n teilerfremd
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TODO: Inverse von Zahl modulo p
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ℤ/2
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0 1
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- 1
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ℤ/3
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0 1 2
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- 1 2
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ℤ/5
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0 1 2 3 4
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- 1 3 2 4
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ℤ/7
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0 1 2 3 4 5 6
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- 1 4 5 2 3 6
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@ -59,3 +59,135 @@ In jedem der Aufgaben (ohne sie die Beweise komplett auszuführen), bestimme,
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Zeige, dass ρ genau dann einen Eigenvektor mit Eigenwert λ besitzt, wenn dim(Kern(ψ - λ)) > 0.
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(_Hier bezeichnet ψ - λ die lineare Abbildung U ⟶ U, x ⟼ ψ(x) - λx._)
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# Lösungen #
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## Verschiedene Fragen über Dimension ##
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1. 0
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2. 0, 1, 2, 3, 4
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3. .
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- U + V = { u+v | u ∈ U, v ∈ V }
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- U ⊆ U + V, ⟹ dim(U) ≤ dim(U + V)
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{u1, u2, ..., u_n} eine Basis für U
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{v1, v2, ..., v_m} eine Basis für V
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{u1, u2, ..., u_n, v_i1, ..., v_ir} eine Basis für U + V
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- V ⊆ U + V, ⟹ dim(V) ≤ dim(U + V)
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- U + V ⊆ W, ⟹ dim(U + V) ≤ dim(W)
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max{dim(U), dim(V)} ≤ dim(U + V) ≤ dim(W)
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4. dim(U + V) = dim(U) + dim(V) – dim(U ∩ V)
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5. 4,5,6. Dimensionsformel anwenden:
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dim(U ∩ V) = dim(U) + dim(V) - dim(U + V) = 6 + 8 - dim(U + V)
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max{dim(U), dim(V)} ≤ dim(U + V) ≤ dim(W)
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⟹ 8 ≤ dim(U + V) ≤ 10
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⟹ 6 + 8 - 10 ≤ 6 + 8 - dim(U + V) ≤ 6 + 8 - 8
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⟹ 4 ≤ dim(U ∩ V) ≤ 6
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6. für ϕ : U ⟶ V linear gilt dim(U) = dim(Kern(ϕ)) + dim(Bild(ϕ))
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7. für ρ : U ⟶ V linear, injektiv dim(U) ≤ dim(V)
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8. für ψ : U ⟶ V linear, definiert man Rang(ψ) = dim(Bild(ψ))
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## Verschiedene Fragen über lineare Unterräume ##
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1. W sei ein Vektorraum über einem Körper K. Sei U ⊆ W eine Teilmenge
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- NL: U ≠ Ø
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- ADD: U unter Addition stabil
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- SKM: U unter Skalarmultiplikation stabil
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oder
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- NL + LK: U unter linearen Kombinationen stabil:
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Seien u1, u2 ∈ U, und seien α1, α2 ∈ K.
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ZU ZEIGEN: α1·u1 + α2·u2 ∈ U.
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...
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...
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Also gilt α1·u1 + α2·u2 ∈ U.
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2. U × V:
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- Elemente: (u,v), u ∈ U, v ∈ V
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- Vektoraddition: (u,v) + (u',v') = (u+u', v+v')
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- Skalarmultiplikation: α·(u, v) = (α·u, α·v)
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3. Sei R ⊆ U × V. Dann R linearer Untervektorraum ⟺
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- NL: R ≠ Ø
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- LK:
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Seien (u1,v1), (u2,v2) ∈ R, und seien α1, α2 ∈ K.
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ZU ZEIGEN: α1·(u1,v1) + α2·(u2,v2) ∈ R,
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m. a. W. (α1·u1 + α2·u2, α1·v1 + α2·v2) ∈ R ist zu zeigen.
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...
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...
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Also gilt (α1·u1 + α2·u2, α1·v1 + α2·v2) ∈ R.
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## Verschiedene Fragen über Basis ##
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1. dim(·) = 5, eine Basis ist: 1, x, x^2, x^3, x^4
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2. eine Basis bilden bspw. { E_ij : 1≤i≤4, 1≤j≤3 }, also die 12 Matrizen
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( 1 0 0 0 ) ( 0 1 0 0 ) ( 0 0 0 0 )
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( 0 0 0 0 ), ( 0 0 0 0 ), ... ( 0 0 0 0 ).
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( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 1 )
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3. m·n
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4. A sei die Matrix.
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- A —> Zeilenstufenform (am besten normalisiert, aber muss nicht sein)
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- anhand Zeilenstufenform Bestimme freie Unbekannten und schreibe Lösung für unfreie Unbekannten in Bezug auf freie auf.
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- 0-1 Trick (setze alle freie auf 0 und jeweils eine auf 1 (oder ≠ 0) ==> bestimme Lösung)
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- ---> diese bilden eine Basis des Lösungsraums, das heißt von {x | Ax=0}
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- **Zur Kontrolle:** prüfen, dass Ae = 0 für alle e in Basis
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- **Beachte:** dim(Kern(A)) = Größe dieser Basis.
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5. A sei die Matrix.
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- A —> Zeilenstufenform
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- merke die Stellen wo Treppen sind ---> entsprechende Spalten in A bilden eine Basis
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- **Beachte:** dim(Bild(A)) = Größe dieser Basis
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- **Zur Kontrolle:** prüfen, dass die Dimensformel für lineare Abbildungen gilt,
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d. h. dim(Kern(A)) + dim(Bild(A)) = dim(Inputvektorraum) = Anzahl der Spalten von A insgesamt
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## Verschiedene Fragen über axiomatische Relationstypen ##
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Testet selbst, dass ihr die Axiome kennt (oder wisst, wo im Skript sie zu finden sind)
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und wie ihr im Beweis mit ihnen umgeht / wie ihr die für eine gegeben konkrete Relation zeigt! 🙂
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## Verschiedene Aspekte von Beweisen ##
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### Aufgabe 1. ###
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Zu zeigen: (1) U ∩ V ≠ Ø,
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und (2) für u1, u2 ∈ U ∩ V und a, b ∈ K
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gilt a·u1 + b·u2 ∈ U ∩ V
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Zu (1):
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...
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...
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...
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also ist .... in U ∩ V
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also ist U ∩ V nicht leer.
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Zu (2): seien u1, u2 ∈ U ∩ V und a, b ∈ K.
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Dann
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...
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...
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...
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a·u1 + b·u2 ∈ U ∩ V.
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### Aufgabe 2. ###
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(⟹) Sei angenommen, .... [1. Aussage]. Zu zeigen: .... [2. Aussage].
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...
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...
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Also gilt [2. Aussage].
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(⟹) Sei angenommen, .... [2. Aussage]. Zu zeigen: .... [1. Aussage].
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...
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...
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Also gilt [1. Aussage].
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@ -2,10 +2,13 @@
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## Ablauf ##
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- ( ) Organisatorische Fragen
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- (√) Organisatorische Fragen
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- Warten noch Leute auf Bewertung für die Zulassung?
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- [**zusatz.pdf**](../../docs/zusatz.pdf)
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- ( ) Fragen für die Klausurvorbereitung. Ein paar Tipps:
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- (√) Fragen für die Klausurvorbereitung.
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- Berechnung vom Inversen modulo n (n prim, aber auch mit n nicht prim).
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- Berechnung im LGS über einem endlichen Körper (Zusatzblatt > Aufgabe 2·2 besprochen).
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- (√) Ein paar Tipps:
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- Gebrauch von Ergebnissen aus dem Skript:
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Man braucht nur das Resultat zu erwähnen, z. B.
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@ -19,4 +22,5 @@
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um die Existenz eines Isomorphismus zu zeigen.
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- **octave**, **python**, o. Ä. für Berechnungen mit Matrizen.
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- ( ) Fragen zur Selbstkontrolle: [/notes/selbstkontrollenaufgaben.md](../../notes/selbstkontrollenaufgaben.md)
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- (√) Fragen zur Selbstkontrolle: [/notes/selbstkontrollenaufgaben.md](../../notes/selbstkontrollenaufgaben.md)
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- alles bis auf Axiome für Äquivalenzrelationen/Ordnungsrelationen zusammen besprochen.
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